17.7 : Proprietà di DTFT I

Nell'elaborazione del segnale, le trasformate di Fourier a tempo discreto (DTFT) svolgono un ruolo fondamentale nell'analisi dei segnali a tempo discreto nel dominio della frequenza. Varie proprietà delle DTFT, come la linearità, lo spostamento temporale, lo spostamento di frequenza, l’inversione temporale, la coniugazione e il ridimensionamento temporale, aiutano a comprendere e manipolare questi segnali per diverse applicazioni.

La proprietà di linearità delle DTFT è fondamentale. Se due segnali a tempo discreto vengono moltiplicati rispettivamente per le costanti a e b e quindi combinati per formare un segnale risultante, la DTFT di questo segnale risultante è la somma ponderata delle DTFT dei singoli segnali.

La proprietà di spostamento temporale delle DTFT indica che ritardare un segnale di n_0 unità nel dominio del tempo introduce uno spostamento di fase di e^−jωn0 nella sua DTFT.

La proprietà di spostamento di frequenza si verifica quando un segnale a tempo discreto x[n] viene moltiplicato per un esponenziale complesso e^jω0n. Questa moltiplicazione sposta le componenti di frequenza del segnale di ω_0.

L'inversione temporale mostra un'altra proprietà affascinante. Se un segnale X[n] viene invertito nel tempo, ovvero x[−n], la sua rappresentazione del dominio di frequenza viene riflessa attorno all'origine.

La proprietà di coniugazione rivela che prendendo il coniugato complesso di un segnale x[n], indicato come x∗[n], si ottiene il DTFT X∗(e^−jω), che riflette e coniuga le componenti di frequenza.

Infine, la proprietà di scala temporale dimostra che se un segnale a tempo discreto viene scalato di un fattore k, esso mantiene i valori solo a intervalli multipli di k. Il DTFT del segnale scalato x[kn] comprime i componenti di frequenza di k. Pertanto, il DTFT di x[kn] è X(e^jωk), e mostra la compressione dei componenti di frequenza del fattore k.

La comprensione di queste proprietà consente un'elaborazione efficiente del segnale, aiutando in varie applicazioni come il filtraggio, la modulazione e l'analisi del segnale.