17.7 :  Свойства ДВПФ I

В обработке сигналов дискретные временные преобразования Фурье (ДВПФ) играют важную роль в анализе дискретных сигналов в частотном домене. Различные свойства ДВПФ, такие как линейность, сдвиг по времени, сдвиг частоты, обращение времени, сопряжение и масштабирование времени, помогают понимать и манипулировать этими сигналами для различных приложений.

Свойство линейности ДВПФ является фундаментальным. Если два дискретных сигнала умножить на константы a и b соответственно, а затем объединить для формирования результирующего сигнала, ДВПФ этого результирующего сигнала будет взвешенной суммой ДВПФ отдельных сигналов.

Свойство сдвига по времени ДВПФ указывает, что задержка сигнала на n_0 единиц во временной области вносит фазовый сдвиг e^−jωn0 в его ДВПФ.

Свойство сдвига частоты возникает, когда дискретный по времени сигнал x[n] умножается на комплексную экспоненту e^jω0n. Это умножение сдвигает частотные компоненты сигнала на ω_0.

Обращение времени демонстрирует еще одно интересное свойство. Если сигнал x[n] обращен по времени, т. е. x[−n], его представление в частотном домене отражается относительно начала координат.

Свойство сопряжения показывает, что взятие комплексного сопряжения сигнала x[n], обозначаемого как x∗[n], приводит к ДВПФ X∗(e^−jω), которое отражает и сопрягает частотные компоненты.

Наконец, свойство масштабирования по времени демонстрирует, что если дискретный по времени сигнал масштабируется с коэффициентом k, сигнал сохраняет значения только на интервалах, кратных k. ДВПФ масштабированного сигнала x[kn] сжимает частотные компоненты на k. Следовательно, ДВПФ сигнала x[kn] равно X(e^jωk), показывая сжатие частотных компонентов на коэффициент k.

Понимание этих свойств позволяет эффективно обрабатывать сигналы, помогая в различных приложениях, таких как фильтрация, модуляция и анализ сигналов.