ド・ブロイが「水素原子中の電子は、量子化された円軌道上を移動する粒子ではなく、円の定在波であると考えられる」というアイデアを発表した直後に、アーウィン・シュリンガーがドブロイの研究を発展させて、現在ではシュレーディンガー方程式と呼ばれるものを導き出しました。この方程式を水素原子に適用したところ、ボーアのエネルギーに関する式を再現することができ、水素のスペクトルを支配するリュードベリ式を再現することができました。シュレーディンガーは、電子をギリシャ文字のプサイψで表される3次元の静止した波（波動関数）として表現しました。
その数年後、マックス・ボルンは、今日でも受け入れられている波動関数ψの解釈を提案しました。電子は依然として粒子であるため、psi で表される波は物理的な波ではなく、代わりに複素数の確率的な振幅となります。波動関数の大きさ∣ψ∣2は、量子粒子が空間のある場所の近くに存在する確率を表しています。つまり、波動関数を使って、原子の核に対する電子の密度の分布を求めることができます。最も一般的な形として、シュレーディンガー方程式は次のように書くことができます。
ここで、Ĥはハミルトニアン演算子であり、量子粒子（原子中の電子など）の全エネルギー（位置エネルギー＋運動エネルギー）を表す一連の数学的演算であり、ψはこの粒子の波動関数であり、粒子を見つける確率の特別な分布を見つけるために使用することができ、Eは粒子の全エネルギーの実際の値です。
シュレーディンガーの仕事は、ハイゼンベルクをはじめとする多くの科学者がその足跡を辿っていることから、量子力学と呼ばれています。
量子力学モデルは軌道を原子内の原子核の周りの三次元空間として表現し、そこで電子が見つかる確率が最も高いです。
この文章は 、 Openstax, Chemistry 2e, Section 6.3: Development of Quantum Theory に基づいています。
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