전자의 입자성과 파동성 그리고 더 나아가 그 위치와 속도는 보완적인 특성이라는 것을 상기해봅시다. 마찬가지로 운동에너지는 속도의 함수이므로 위치와 에너지도 보완적인 특성입니다. 따라서 에너지가 잘 정의된 전자의 경우 그 위치는 덜 정확하게 알려져 있습니다.

대신 전자의 위치는 특정 에너지 상태의 전자를 찾을 확률을 지도화한 전자 확률 밀도로 설명됩니다. 이 표현에 따르면 전자는 원자의 핵에서 아주 멀리 떨어져 있는 것보다 핵에 더 가까이 있을 가능성이 높습니다. 전자의 에너지와 확률 분포는 전자의 파동성과 입자성을 모두 통합한 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 수학적으로 도출한 것입니다.

여기서 E는 전자의 실제 에너지이고 H는 수학적 연산자이며 프사이는 파동함수입니다. 슈뢰딩거 방정식을 풀면 많은 가능한 파동 함수를 얻을 수 있습니다. 전자 확률 밀도를 나타내는 것은 파동함수의 제곱인 프사이 제곱입니다.

점의 밀도는 특정 위치에 전자가 위치하는 단위 부피 당 확률에 비례합니다. 원자의 핵으로부터의 거리 r에 관한 프사이 제곱의 플롯은 원자 안에서 전자가 존재할 가능성이 가장 높은 곳을 표시합니다. 프사이 제곱의 값이 클수록 전자를 발견할 확률이 높아집니다.

다음의 그래프는 1개의 전자를 가진 수소의 확률 밀도를 나타냅니다. 특정 에너지를 가진 전자를 발견할 확률이 가장 높은 3차원 영역을 궤도라고 합니다. 궤도는 양자수의 값에 따라 구면에서부터 더 복잡한 모양까지 다양한 모양을 가지고 있습니다.

이 궤도들은 처음에 보어가 자신의 원자 모형에서 설명한 궤도와 같지 않습니다. 보어의 모형에서 궤도는 양자화된 에너지 준위을 나타냅니다. 따라서 확률에 기초한 원자의 양자역학 모형은 원자 구조의 가장 현대적인 표현입니다.

이 모형에서는 전자 확률 밀도를 핵을 둘러싼 전자의 구름'으로 묘사함으로써 원자에 대한 보다 정확한 표현을 제공합니다.