Funkcja przejścia jest podstawową koncepcją w analizie i projektowaniu liniowych układów niezmienniczych w czasie (LTI). Pozwala zrozumieć, w jaki sposób układ reaguje na różne dane wejściowe w dziedzinie częstotliwości. Służy jako pomost między równaniami różniczkowymi w dziedzinie czasu, które opisują dynamikę układu, a reprezentacją w dziedzinie częstotliwości, która ułatwia analizę.

Aby otrzymać funkcję przejścia, rozważ ogólne liniowe równanie różniczkowe niezmienne w czasie n-tego rzędu w postaci:

Tutaj c(t) jest wyjściem, r(t) jest wejściem, a a_i i b_i są stałymi współczynnikami. Stosując transformację Laplace'a do obu stron, zakładając, że wszystkie warunki początkowe są zerowe, równanie różniczkowe można przekształcić w równanie algebraiczne w odniesieniu do s, zmiennej częstotliwości zespolonej. Przestawiając wyrazy, otrzymujemy:

Funkcja przejścia H(s) jest zdefiniowana jako stosunek wyjścia C(s) do wejścia R(s):

To wyrażenie pokazuje, że funkcja przejścia jest funkcją wymierną s. Licznik jest wielomianem utworzonym przez współczynniki wejściowe, a mianownik jest wielomianem charakterystycznym równania różniczkowego.

Ta funkcja przejścia wskazuje, jak wyjście układu c(t) reaguje na wejście r(t) w dziedzinie częstotliwości. Funkcję przejścia można przedstawić na schemacie blokowym z wejściem R(s) po lewej stronie, wyjściem C(s) po prawej stronie i funkcją przejścia H(s) wewnątrz bloku. Ta wizualizacja upraszcza zrozumienie i analizę zachowania systemu, szczególnie w przypadku bardziej złożonych systemów.