Передаточная функция является фундаментальным понятием в анализе и проектировании линейных стационарных (LTI) систем. Она предлагает краткий способ понять, как система реагирует на различные входные данные в частотном домене. Она служит мостом между дифференциальными уравнениями во временном домене, которые описывают динамику системы, и представлением в частотном домене, которое облегчает манипуляцию и анализ.

Чтобы вывести передаточную функцию, рассмотрим общее линейное стационарное дифференциальное уравнение n-го порядка в форме:

Здесь c(t) — выход, r(t) — вход, а a_i и b_i — постоянные коэффициенты. Применяя преобразование Лапласа к обеим сторонам и предполагая, что все начальные условия равны нулю, дифференциальное уравнение можно преобразовать в алгебраическое уравнение относительно s, комплексной частотной переменной. Переставляя члены, получаем:

Передаточная функция H(s) определяется как отношение выхода C(s) к входу R(s):

Это выражение показывает, что передаточная функция является рациональной функцией переменной s. Числитель — это полином, образованный входными коэффициентами, а знаменатель — характеристический полином дифференциального уравнения.

Эта передаточная функция показывает, как выход системы c(t) реагирует на вход r(t) в частотном домене. Передаточную функцию можно представить в виде блок-схемы с входом R(s) слева, выходом C(s) справа и передаточной функцией H(s) внутри блока. Такая визуализация упрощает понимание и анализ поведения системы, особенно при работе с более сложными системами.