21.1 : Kontrol Sistemlerinde Transfer Fonksiyonu

Transfer fonksiyonu, doğrusal ve zamana bağlı olmayan (LTI) sistemlerin analizi ve tasarımında temel bir kavramdır. Bir sistemin frekans alanındaki farklı girdilere nasıl yanıt verdiğini anlamak için net bir yol sunar. Sistem dinamiklerini tanımlayan zaman domain diferansiyel denklemleri ile daha kolay işlem ve analiz sağlayan frekans domain gösterimi arasında bir köprü görevi görür.

Transfer fonksiyonunu türetmek için, şu biçimdeki genel bir n'inci mertebeden doğrusal ve zamana bağlı olmayan diferansiyel denklemi ele alalım:

Burada, c(t) çıktı, r(t) girdi ve a_i ve b_i sabit katsayılardır. Tüm başlangıç koşullarının sıfır olduğunu varsayıp her iki tarafa da Laplace dönüşümünü uygulayarak, diferansiyel denklemi, karmaşık frekans değişkeni olan s cinsinden cebirsel bir denkleme dönüştürebiliriz. Terimleri yeniden düzenlediğimizde şunu elde ederiz:

Transfer fonksiyonu H(s), çıktı C(s)'nin girdi R(s)'ye oranı olarak tanımlanır:

Bu ifade, transfer fonksiyonunun, s'nin rasyonel bir fonksiyonu olduğunu gösterir. Pay, girdi katsayıları tarafından oluşturulan polinomdur ve payda, diferansiyel denklemin karakteristik polinomudur.

Bu transfer fonksiyonu, sistemin çıktısı olan c(t)'nin frekans domaininde bir r(t) girdisine nasıl tepki verdiğini gösterir. Transfer fonksiyonu, R(s) girdisinin solda, C(s) çıktısının sağda ve transfer fonksiyonu H(s)'nin bloğun içinde olduğu bir blok diyagramında gösterilebilir. Bu görselleştirme, özellikle daha karmaşık sistemlerle uğraşırken sistem davranışını anlamayı ve analiz etmeyi kolaylaştırır.