La fonction de transfert est un concept fondamental dans l'analyse et la conception des systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI). Elle offre un moyen concis de comprendre comment un système répond à différentes entrées dans le domaine fréquentiel. Elle sert de pont entre les équations différentielles du domaine temporel qui décrivent la dynamique du système et la représentation du domaine fréquentiel qui facilitent la manipulation et l'analyse.

Pour dériver la fonction de transfert, considérons une équation différentielle linéaire invariante dans le temps d'ordre n de la forme :

Ici, c(t) est la sortie, r(t) est l'entrée et a_i et b_i sont des coefficients constants. En appliquant la transformée de Laplace aux deux côtés, en supposant que toutes les conditions initiales sont nulles, l'équation différentielle peut être convertie en une équation algébrique en termes de s, la variable de fréquence complexe. En réorganisant les termes, nous obtenons :

La fonction de transfert H(s) est définie comme le rapport entre la sortie C(s) et l'entrée R(s) :

Cette expression montre que la fonction de transfert est une fonction rationnelle de s. Le numérateur est le polynôme formé par les coefficients d'entrée et le dénominateur est le polynôme caractéristique de l'équation différentielle.

Cette fonction de transfert indique comment la sortie c(t) du système répond à une entrée r(t) dans le domaine fréquentiel. La fonction de transfert peut être représentée dans un diagramme en blocs avec l'entrée R(s) à gauche, la sortie C(s) à droite et la fonction de transfert H(s) à l'intérieur du bloc. Cette visualisation simplifie la compréhension et l'analyse du comportement du système, en particulier lorsqu'il s'agit de systèmes plus complexes.