A função de transferência é um conceito fundamental na análise e no design de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI). Ela oferece uma maneira concisa de entender como um sistema responde a diferentes entradas no domínio da frequência. Ela serve como uma ponte entre as equações diferenciais do domínio do tempo que descrevem a dinâmica do sistema e a representação do domínio da frequência que facilita a manipulação e a análise.

Para derivar a função de transferência, considere uma equação diferencial linear invariante no tempo de ordem n geral da forma:

Aqui, c(t) é a saída, r(t) é a entrada e a_i e b_i são coeficientes constantes. Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados, assumindo que todas as condições iniciais são zero, a equação diferencial pode ser convertida em uma equação algébrica em termos de s, a variável de frequência complexa. Reorganizando os termos, obtemos:

A função de transferência H(s) é definida como a razão entre a saída C(s) e a entrada R(s):

Esta expressão mostra que a função de transferência é uma função racional de s. O numerador é o polinômio formado pelos coeficientes de entrada, e o denominador é o polinômio característico da equação diferencial.

Esta função de transferência indica como a saída c(t) do sistema responde a uma entrada r(t) no domínio da frequência. A função de transferência pode ser representada em um diagrama de blocos com a entrada R(s) à esquerda, a saída C(s) à direita e a função de transferência H(s) dentro do bloco. Esta visualização simplifica a compreensão e a análise do comportamento do sistema, especialmente ao lidar com sistemas mais complexos.