Die Übertragungsfunktion ist ein grundlegendes Konzept bei der Analyse und dem Entwurf linearer zeitinvarianter (LTI) Systeme. Sie bietet eine prägnante Möglichkeit, zu verstehen, wie ein System auf verschiedene Eingaben im Frequenzbereich reagiert. Sie dient als Brücke zwischen den Differentialgleichungen im Zeitbereich, die die Systemdynamik beschreiben, und der Darstellung im Frequenzbereich, die eine einfachere Handhabung und Analyse ermöglicht.

Um die Übertragungsfunktion abzuleiten, betrachten Sie eine allgemeine lineare zeitinvariante Differentialgleichung n-ter Ordnung der Form:

Hier ist c(t) die Ausgabe, r(t) die Eingabe und a_i und b_i sind konstante Koeffizienten. Wenn man die Laplace-Transformation auf beide Seiten anwendet und davon ausgeht, dass alle Anfangsbedingungen Null sind, kann die Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung in Bezug auf s, die komplexe Frequenzvariable, umgewandelt werden. Durch Umstellen der Terme erhalten wir:

Die Übertragungsfunktion H(s) ist definiert als das Verhältnis des Ausgangs C(s) zum Eingang R(s):

Dieser Ausdruck zeigt, dass die Übertragungsfunktion eine rationale Funktion von s ist. Der Zähler ist das Polynom, das durch die Eingangskoeffizienten gebildet wird, und der Nenner ist das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.

Diese Übertragungsfunktion gibt an, wie der Ausgang c(t) des Systems auf einen Eingang r(t) im Frequenzbereich reagiert. Die Übertragungsfunktion kann in einem Blockdiagramm mit dem Eingang R(s) auf der linken Seite, dem Ausgang C(s) auf der rechten Seite und der Übertragungsfunktion H(s) innerhalb des Blocks dargestellt werden. Diese Visualisierung vereinfacht das Verständnis und die Analyse des Systemverhaltens, insbesondere bei komplexeren Systemen.