13.10 : Klassifizierung von Systemen-I

Linearität ist eine Systemeigenschaft, die durch eine direkte Input-Output-Beziehung gekennzeichnet ist, die Homogenität und Additivität kombiniert.

Homogenität schreibt vor, dass, wenn ein Input x(t) mit einer Konstanten c multipliziert wird, der Output y(t) mit derselben Konstanten multipliziert wird. Mathematisch wird dies wie folgt ausgedrückt:

Additivität bedeutet, dass die Antwort auf die Summe mehrerer Inputs die Summe ihrer einzelnen Antworten ist. Für die Eingänge x_1(t) und x_2(t), die die Ausgänge y_1(t) bzw. y_2(t) erzeugen:

Die Kombination von Homogenität und Additivität ergibt die Gleichung eines linearen Systems:

Lineare Systeme umfassen Schaltkreise mit Widerständen, Kondensatoren und Induktoren, die dem Superpositionsprinzip folgen. Umgekehrt werden Systeme, die die Linearitätsgleichung nicht befolgen, als nichtlinear klassifiziert, wie z. B. Gleichrichter und Dioden.

Ein kausales System ist ein System, bei dem die aktuelle Reaktion unabhängig von zukünftigen Eingangswerten ist. Beispielsweise kann die Bewegung eines Autos zukünftige Fahraktionen nicht vorhersagen, was es zu einem kausalen System macht. Im Gegensatz dazu können nicht-kausale Systeme wie ideale Filter nicht physisch realisiert werden, da sie nicht dem Prinzip der Kausalität folgen.

Dynamische Systeme verfügen über ein Gedächtnis, bei dem die Ausgabe von vergangenen und gegenwärtigen Eingaben abhängt. Ein Beispiel ist ein Stromkreis mit Kondensatoren oder Induktoren, bei dem die gegenwärtige Ausgabe von vergangenen Eingaben beeinflusst wird. Statische Systeme, auch als gedächtnislose oder unverzögertes Systeme bekannt, haben Ausgaben, die ausschließlich auf der gegenwärtigen Eingabe basieren, wie z. B. ein einfacher Widerstandskreis, bei dem die Ausgangsspannung eine direkte Funktion der aktuellen Eingangsspannung ist.

Das Verständnis dieser Eigenschaften – Linearität, Kausalität und Gedächtnis – ist für die Analyse und Entwicklung von Systemen in verschiedenen technischen Bereichen von entscheidender Bedeutung.