13.7 : אותות אקספוננציאליים וסינוסואידליים

הפונקציה האקספוננציאלית חיונית לאפיון צורות גל העולות או דועכות במהירות. הפונקציה האקספוננציאלית בזמן רציף מוגדרת באמצעות ביטויים אקספוננציאליים עם קבועים \(a\) ו-\(A\). כאשר שני הקבועים הם ממשיים, הפונקציה מיוצגת כך:

ניתן לתאר בצורה גרפית כדי להמחיש גדילה או דעיכה אקספוננציאלית. כאשר הקבוע \(a\) הוא דמיוני טהור, התוצאה היא אקספוננט מרוכב, המיוצג כך:

כאשר j הוא היחידה המדומה ו ω_0 היא התדירות הזוויתית. פונקציה זו היא מחזורית אם היא שומרת על משרעת קבועה של יחידה.

אות סינוסואידלי בזמן רציף ניתן לתיאור במונחים של תדירות ותקופת זמן. היחס של אוילר מאפשר לייצג את האות הסינוסואידלי כאקספוננטים מרוכבים מחזוריים עם אותה תקופה בסיסית. לפיכך, אות סינוסואידלי מיוצג כך:

ניתן לשכתב אותו באמצעות אקספוננטים מרוכבים כדלקמן:

באופן דומה, ניתן להביע את הפונקציה האקספוננציאלית המרוכבת במונחים של אותות סינוסואידליים, שכולם חולקים את אותה תקופה בסיסית. לדוגמה, סכום של שני אקספוננטים מרוכבים ניתן לכתיבה כמכפלה של אקספוננט מרוכב יחיד וסינוסואיד יחיד, כפי שמודגם כאן:

אותות סינוסואידליים ואקספוננציאליים מרוכבים משמשים רבות לתיאור שימור האנרגיה במערכות מכניות, כמו מסה המחוברת לתמיכה נייחת דרך קפיץ, שמפגינה תנועה הרמונית פשוטה. אותות אלה מהווים בסיס לניתוח התנהגות תנודתית ותופעות תהודה במערכות כאלה.