13.7 : Экспоненциальные и синусоидальные сигналы

Экспоненциальная функция имеет решающее значение для характеристики волновых форм, которые быстро нарастают и затухают. Непрерывная во времени экспоненциальная функция определяется с использованием экспоненциальных членов с константами a и A. Когда обе константы действительны, функция представляется как,

и может быть изображена графически для демонстрации экспоненциального роста или затухания. Когда константа a - чисто мнимая, результатом является комплексная экспонента, выраженная как

где j — мнимая единица, а ω_0 — угловая частота. Эта функция является периодической, если она сохраняет величину, равную одному.

Непрерывный по времени синусоидальный сигнал можно описать в терминах частоты и периода времени. Соотношение Эйлера позволяет выразить синусоидальный сигнал в виде периодических комплексных экспонент с тем же основным периодом. Таким образом, синусоидальный сигнал, представленный как,

можно переписать с использованием комплексных экспонент следующим образом,

Аналогично, комплексная экспоненциальная функция может быть выражена в терминах синусоидальных сигналов, причем все они имеют тот же основной период. Например, сумма двух комплексных экспонент может быть записана как произведение одной комплексной экспоненты и одной синусоиды, примером чего является следующее выражение:

Как синусоидальные, так и комплексные экспоненциальные сигналы широко используются для описания сохранения энергии в механических системах, таких как масса, соединенная с неподвижной опорой через пружину, демонстрирующая простое гармоническое движение. Эти сигналы обеспечивают основу для анализа колебательного поведения и резонансных явлений в таких системах.