13.7 : Segnali esponenziali e sinusoidali

La funzione esponenziale è fondamentale per caratterizzare le forme d'onda che aumentano e decadono rapidamente. Questa funzione esponenziale a tempo continuo è definita usando termini esponenziali con costanti a e A. Quando entrambe le costanti sono reali, la funzione è rappresentata come:

E può essere rappresentata graficamente per mostrare la crescita o il decadimento esponenziale. Quando la costante a è puramente immaginaria, il risultato è un esponenziale complesso, espresso come:

Dove j è l'unità immaginaria e ω_0 è la frequenza angolare. Questa funzione è periodica se mantiene una grandezza unitaria.

Un segnale sinusoidale a tempo continuo può essere descritto in termini di frequenza e periodo di tempo. La relazione di Eulero consente di esprimere il segnale sinusoidale come esponenziali complessi periodici con lo stesso periodo fondamentale. Pertanto, un segnale sinusoidale è rappresentato come:

Può essere riscritto utilizzando gli esponenziali complessi come segue:

Allo stesso modo, la funzione esponenziale complessa può essere espressa in termini di segnali sinusoidali, tutti con lo stesso periodo fondamentale. Ad esempio, la somma di due esponenziali complessi può essere scritta come il prodotto di un singolo esponenziale complesso e di una singola sinusoide, esemplificato da:

Sia i segnali sinusoidali che quelli esponenziali complessi sono ampiamente usati per descrivere la conservazione dell'energia nei sistemi meccanici, come una massa collegata ad un supporto stazionario tramite una molla, che esibisce un moto armonico semplice. Questi segnali forniscono una base per analizzare il comportamento oscillatorio e i fenomeni di risonanza in tali sistemi.