13.7 : Sinais Exponenciais e Senoidais

A função exponencial é crucial para caracterizar formas de onda que sobem e decaem rapidamente. Esta função exponencial de tempo contínuo é definida usando termos exponenciais com constantes a e A. Quando ambas as constantes são reais, a função é representada como,

e pode ser representada graficamente para mostrar crescimento ou decaimento exponencial. Quando a constante a é puramente imaginária, o resultado é uma exponencial complexa, expressa como,

onde j é a unidade imaginária e ω_0 é a frequência angular. Esta função é periódica e mantém uma magnitude de unidade.

Um sinal sinusoidal de tempo contínuo pode ser descrito em termos de frequência e período de tempo. A relação de Euler permite que o sinal sinusoidal seja expresso como exponenciais complexas periódicas com o mesmo período fundamental. Assim, um sinal sinusoidal é representado como,

pode ser reescrito usando exponenciais complexas como segue,

Da mesma forma, a função exponencial complexa pode ser expressa em termos de sinais sinusoidais, todos compartilhando o mesmo período fundamental. Por exemplo, a soma de dois exponenciais complexos pode ser escrita como o produto de um único exponencial complexo e um único sinusoide, exemplificado por,

​Tanto os sinais sinusoidais quanto os exponenciais complexos são amplamente empregados para descrever a conservação de energia em sistemas mecânicos, como uma massa conectada a um suporte estacionário por meio de uma mola, exibindo movimento harmônico simples. Esses sinais fornecem uma base para analisar o comportamento oscilatório e os fenômenos de ressonância em tais sistemas.