13.7 : Üstel ve Sinüzoidal Sinyaller

Üstel fonksiyon, hızla yükselen ve düşen dalga formlarını karakterize etmek için çok önemlidir. Bu sürekli zamanlı üstel fonksiyon, a ve A sabitlerine sahip üstel terimler kullanılarak tanımlanır. Her iki sabit de gerçek olduğunda, fonksiyon şu şekilde gösterilir:

ve üstel büyümeyi veya düşüşü göstermek için grafiği çizilebilir. Sabit a tamamen sanal olduğunda sonuç şu şekilde ifade edilen karmaşık bir üsteldir:

Burada j sanal kısım ve ω_0 açısal frekanstır. Bu fonksiyon, birim büyüklüğünü koruyorsa periyodiktir.

Sürekli zamanlı bir sinüzoidal sinyal, frekans ve zaman periyodu cinsinden tanımlanabilir. Euler ilişkisi, sinüzoidal sinyalin aynı temel periyoda sahip, periyodik bir karmaşık üstel olarak ifade edilmesine olanak tanır. Bu nedenle, sinüzoidal bir sinyal şu şekilde gösterilir:

ve karmaşık üstel kullanılarak aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Benzer şekilde, karmaşık üstel fonksiyon, hepsi aynı temel periyodu paylaşan sinüzoidal sinyaller cinsinden ifade edilebilir. Örneğin, iki karmaşık üstelin toplamı, tek bir karmaşık üstel ve tek bir sinüzoidin çarpımı olarak yazılabilir:

Hem sinüzoidal hem de karmaşık üstel sinyaller, sabit bir desteğe yay aracılığıyla bağlanarak basit harmonik hareket yapan kütle gibi mekanik sistemlerde enerji korunumunu göstermek için yaygın olarak kullanılır. Bu sinyaller, bu tür sistemlerdeki salınımlı davranış ve rezonans olaylarının analiz edilmesi için bir temel oluşturur.