13.7 : Signaux exponentiels et sinusoïdaux

La fonction exponentielle est essentielle pour caractériser les formes d'onde qui augmentent et diminuent rapidement. Cette fonction exponentielle à temps continu est définie à l'aide de termes exponentiels avec des constantes a et A. Lorsque les deux constantes sont réelles, la fonction est représentée par,

et peut être représentée graphiquement pour montrer une croissance ou une décroissance exponentielle. Lorsque la constante a est purement imaginaire, le résultat est une exponentielle complexe, exprimée par,

où j est l'unité imaginaire et ω_0 est la fréquence angulaire. Cette fonction est périodique si elle conserve une amplitude égale à l'unité.

Un signal sinusoïdal à temps continu peut être décrit en termes de fréquence et de période de temps. La relation d'Euler permet d'exprimer le signal sinusoïdal sous forme d'exponentielles complexes périodiques ayant la même période fondamentale. Ainsi, un signal sinusoïdal est représenté comme suit,

peut être réécrit en utilisant des exponentielles complexes comme suit,

De même, la fonction exponentielle complexe peut être exprimée en termes de signaux sinusoïdaux, tous partageant la même période fondamentale. Par exemple, la somme de deux exponentielles complexes peut être écrite comme le produit d'une seule exponentielle complexe et d'une seule sinusoïde, comme le montre l’exemple suivant,

Les signaux sinusoïdaux et exponentiels complexes sont largement utilisés pour décrire la conservation de l'énergie dans les systèmes mécaniques, tels qu'une masse reliée à un support stationnaire par un ressort, présentant un mouvement harmonique simple. Ces signaux constituent une base pour l'analyse du comportement oscillatoire et des phénomènes de résonance dans de tels systèmes.