16.3 :  Momento d'inerzia attorno ad un asse arbitrario

Il momento d'inerzia è tipicamente associato agli assi principali, ma può anche essere calcolato per qualsiasi asse casuale. Quando si prende in considerazione un asse arbitrario, il momento di inerzia viene determinato integrando la distribuzione della massa dell'oggetto lungo quell'asse specifico. È fondamentale in applicazioni come la progettazione di macchinari, dove i componenti ruotano attorno a vari assi e l'equilibrio e la stabilità sono essenziali.

In questo scenario, la distanza perpendicolare tra l'asse arbitrario scelto e la distribuzione di massa considerata è derivata dal prodotto incrociato del vettore unitario, che definisce la direzione dell'asse e il vettore di posizione dell'elemento massa.

Quando viene eseguita un'operazione di prodotto scalare e le parentesi vengono espanse, il risultato è l'espressione del momento di inerzia. Utilizzando le definizioni di momento d'inerzia e prodotto d'inerzia lungo vari assi, è possibile generalizzare il momento d'inerzia lungo un asse arbitrario.

Supponiamo che il tensore d'inerzia sia definito rispetto agli assi XYZ. In tal caso, il calcolo del momento di inerzia attorno ad un asse arbitrario diventa possibile se si conoscono i coseni direzionali dell'asse. Questo approccio consente una comprensione più completa del momento di inerzia, oltre i limiti di considerare solo gli assi principali.