0.2 : Vector or Cross Product

Векторное умножение двух векторов дает векторное произведение, при этом величина, равная произведению отдельных векторов, умножается на синус угла между обоими векторами и направление, перпендикулярное обоим отдельным векторам. Поскольку всегда есть два направления, перпендикулярных данной плоскости, по одному с каждой стороны, направление векторного произведения регулируется правилом большого пальца правой руки.

Рассмотрим перекрестное произведение двух векторов. Представьте себе, что вы вращаете первый вектор вокруг перпендикулярной линии до тех пор, пока он не выровнен со второй, выбирая меньший из двух возможных углов между двумя векторами. Пальцы правой руки загнуты вокруг перпендикулярной линии так, чтобы кончики пальцев указывали в направлении вращения; Затем большой палец указывает в направлении перекрестного произведения. Аналогично, направление перекрестного произведения второго вектора с первым определяется поворотом второго вектора в первый вектор, и оно противоположно перекрестному произведению первого вектора со вторым. Из этого следует, что эти два явления антипараллельны друг другу. Перекрестное произведение двух векторов является антикоммутативным, что означает, что векторное произведение меняет знак на противоположный при обратном порядке умножения. Векторное произведение двух параллельных или антипараллельных векторов всегда равно нулю. В частности, векторное произведение любого вектора с самим собой равно нулю.

Рассмотрим несколько случаев, когда применяется векторное произведение. Механическое преимущество, которое дает гаечный ключ, зависит от величины приложенного усилия, от его направления по отношению к рукоятке ключа и от того, как далеко от гайки приложено это усилие. Физическая векторная величина, которая заставляет гайку вращаться, называется крутящим моментом, и она является векторным произведением приложенного вектора силы на вектор положения. Другим примером является случай, когда частица движется в магнитном поле, на которое действует магнитная сила. Магнитное поле, магнитная сила и скорость являются векторными величинами. Вектор силы пропорционален векторному произведению вектора скорости на вектор магнитного поля.

Этот текст адаптирован из Openstax, Университетская физика, том 1, раздел 2.4: Произведения векторов.