26.4 : صيغة أويلر للأعمدة: حل المسألة

تُستخدم صيغة أويلر في الهندسة الإنشائية لتحديد حمل التواء الأعمدة في ظل ظروف مختلفة. ومع ذلك، عند التعامل مع الأنظمة التي تشتمل على عناصر صلبة ومكونات مرنة، مثل النوابض، يتطلب التحليل اتباع نهج أكثر دقة لتحديد الحمل الحرج. تتضمن المشكلة الموصوفة قضيبين صلبين متصلين عند نقطة محورية مع نابض متصل وحمل رأسي مطبق على أحد الطرفين.

يتكون النظام من قضيبين صلبين رأسيين، AB وBC، متساويين في الطول، ومتصلين عند النقطة المحورية B، على غرار مفصل الركبة. يتم توصيل نابض توتر ثابت k إلى B، ويعمل أفقيًا. عندما يتم تطبيق حمل رأسي F للأسفل عند النقطة A، تدور القضبان حول النقطة المحورية B. يعمل النابض ضد هذه القوة، ويسحب النقطة B مرة أخرى إلى موقعها الأصلي ويؤدي إلى استطالة X في النابض.

أولاً، لتحليل هذا النظام، يتم استخدام مخطط الجسم الحر لكل شريط، ويتم تطبيق مبادئ التوازن الثابت لتحليل القوى المؤثرة على القضبان. يؤدي الحمل المحوري F إلى دوران النظام عند النقطة B، مما يؤدي إلى قوة أفقية ورأسية في القضبان.

تم إعداد معادلة توازن للقوى الأفقية المؤثرة على النظام، والتي تتضمن قوة النابض الناتجة عن الاستطالة X. تعمل قوة النابض على مقاومة الحركة الجانبية للنقطة B. كما يؤدي دوران النظام عند النقطة B إلى إحداث عزم انحناء في كلى العمودين. يسمح توازن العزم عند B للشريط AB بتحديد قوة رد الفعل عند النقطة A. ويتضمن ذلك حساب العزم الناتجة عن الحمل المطبق F ومساواتها بالعزم الناتج عن قوة رد الفعل. وبالمثل، فإن فحص عزم القوى حول النقطة B للقضيب BC ينتج عنه قوة رد الفعل عند النقطة C. تتضمن هذه الخطوة أيضًا قوة النابض وذراعه العزمية بالنسبة إلى النقطة B. يمكننا حساب إجمالي قوة النابض عن طريق استبدال التفاعلات عند النقطتان A وC في معادلة توازن القوة الأفقية. تعمل هذه القوة على موازنة العزوم الناتجة عن قوى رد الفعل عند النقطتين A وC.

يتم تحديد الحمل الحرج للنظام من خلال إدراك أن استطالة النابض X تتعلق مباشرة بالحمل المطبق F. ويتعرض استقرار النظام للخطر عندما تصل استطالة النابض (وبالتالي قوة النابض) إلى قيمة لا يمكن موازنتها بواسطة السلامة الهيكلية للجمعية، مما يؤدي إلى التواء. يمكن استخلاص التعبير الرياضي الدقيق للحمل الحرج من معادلات التوازن، بما في ذلك ثابت النابض k، وطول القضبان، وهندسة النظام عند بداية الانبعاج.