26.4 : 오일러의 열 공식: 문제 해결

오일러의 공식은 구조 공학에서 다양한 조건에서 기둥의 좌굴 하중을 결정하는 데 사용됩니다. 그러나 스프링과 같은 강성 요소와 탄성 구성 요소를 모두 포함하는 시스템을 다룰 때는 임계 하중을 결정하기 위한 보다 정밀한 접근 방식이 필요합니다. 설명된 문제는 스프링이 부착되고 한쪽 끝에 수직 하중이 가해지는 피벗 지점에 연결된 두 개의 단단한 막대와 관련됩니다.

이 시스템은 무릎 관절과 유사하게 피벗 지점 B에 연결된 동일한 길이의 두 개의 수직 강체 막대 AB 및 BC로 구성됩니다. 상수 k의 인장 스프링이 B에 부착되어 수평으로 작용합니다. 수직 하중 F가 A 지점에서 아래쪽으로 적용되면 막대가 피봇 지점 B를 중심으로 회전합니다. 스프링은 이 힘에 대항하여 B 지점을 원래 위치로 끌어당기고 스프링의 신장 X를 발생시킵니다.

먼저, 이 시스템을 분석하기 위해 각 막대에 대한 자유물체도를 사용하고, 정적 평형의 원리를 적용하여 막대에 작용하는 힘을 분석합니다. 축 하중 F로 인해 시스템이 B 지점에서 회전하게 되고 이로 인해 로드에 수평 및 수직 힘이 모두 발생합니다.

신장 X로 인한 스프링 힘을 포함하는 시스템에 작용하는 수평 힘에 대한 평형 방정식이 설정됩니다. 스프링 힘은 B 지점의 측면 이동에 반작용합니다. B 지점에서 시스템의 피벗은 두 지점 모두에서 굽힘 모멘트를 유도합니다. 바 AB에 대한 B에서의 모멘트 평형을 통해 A 지점에서의 반력을 결정할 수 있습니다. 여기에는 적용된 하중 F에 의해 생성된 모멘트를 계산하고 이를 반력으로 인한 모멘트와 동일시하는 작업이 포함됩니다. 마찬가지로, 막대 BC에 대한 점 B 주위의 힘의 모멘트를 조사하면 점 C에서의 반력이 산출됩니다. 이 단계에는 점 B에 대한 스프링력과 모멘트 팔도 포함됩니다. 점 A와 C의 반력을 수평 힘 평형 방정식에 대체하여 총 스프링력을 계산할 수 있습니다. 이 힘은 지점 A와 C에서 반력에 의해 생성된 모멘트의 균형을 맞춥니다.

시스템의 임계 하중은 스프링의 신장률 X가 적용된 하중 F와 직접적으로 관련되어 있음을 인식하여 결정됩니다. 스프링 신장률(따라서 스프링 힘)이 균형을 이룰 수 없는 값에 도달하면 시스템의 안정성이 손상됩니다. 어셈블리의 구조적 무결성으로 인해 좌굴이 발생합니다. 임계 하중에 대한 정확한 수학적 표현은 스프링 상수 k, 막대의 길이 및 좌굴 시작 시 시스템의 형상을 통합하는 평형 방정식에서 파생될 수 있습니다.