26.4 : הנוסחה של אוילר לעמודים: פתרון בעיות

הנוסחה של אוילר משמשת בהנדסת מבנים כדי לקבוע את עומס ההתכווצות של עמודים בתנאים שונים. עם זאת, כאשר עוסקים במערכות המשלבות גם אלמנטים קשיחים וגם רכיבים אלסטיים, כמו קפיצים, הניתוח דורש גישה עדינה יותר לקביעת העומס הקריטי. הבעיה המתוארת כוללת שני מוטות קשיחים המחוברים בנקודת ציר עם קפיץ מחובר ועומס אנכי מופעל בקצה אחד.

המערכת מורכבת משני מוטות קשיחים אנכיים, AB ו-BC, באורך שווה, המחוברים בנקודת ציר B, בדומה למפרק הברך. קפיץ מתח בקבוע k מחובר ל-B הפועל בצורה אופקית. כאשר עומס אנכי F מופעל כלפי מטה בנקודה A, המוטות מסתובבים סביב נקודת הציר B. הקפיץ פועל כנגד כוח זה, מושך את נקודה B חזרה למיקומה המקורי וכתוצאה מכך התארכות X בקפיץ.

ראשית, כדי לנתח מערכת זו, נעשה שימוש בתרשים גוף חופשי עבור כל מוט, ומיושמים עקרונות שיווי המשקל הסטטי לניתוח הכוחות הפועלים על המוטות. העומס הצירי F גורם למערכת להסתובב בנקודה B, מה שגורם לכוח אופקי ואנכי גם במוטות.

נקבעת משוואת שיווי משקל לכוחות האופקיים הפועלים על המערכת, הכוללת את כוח הקפיץ עקב ההתארכות X. כוח הקפיץ נוגד את התנועה הצידה של נקודה B. סיבוב המערכת בנקודה B משרה גם מומנט כפיפה בשני המוטות. שיווי משקל המומנט ב-B עבור מוט AB מאפשר את קביעת כוח התגובה בנקודה A. הוא כולל חישוב המומנט שנוצר מהעומס המופעל F והשוואתו למומנט הנובע מכוח התגובה. באופן דומה, בחינת מומנט הכוחות סביב נקודה B עבור המוט BC מניב את כוח התגובה בנקודה C. שלב זה כולל גם את כוח הקפיץ וזרוע המומנט שלו ביחס לנקודה B. אנו יכולים לחשב את כוח הקפיץ הכולל על ידי החלפת התגובות ב נקודות A ו-C לתוך משוואת שיווי משקל הכוח האופקי. כוח זה מאזן את המומנטים שנוצרו על ידי כוחות התגובה בנקודות A ו-C.

העומס הקריטי למערכת נקבע על ידי הכרה שההתארכות X של הקפיץ מתייחסת ישירות לעומס המופעל F. יציבות המערכת נפגעת כאשר התארכות הקפיץ (ולפיכך כוח הקפיץ) מגיעה לערך שלא ניתן לאזן על ידי השלמות המבנית של המכלול, מה שמוביל להתכווצות. ניתן לגזור את הביטוי המתמטי המדויק לעומס הקריטי ממשוואות שיווי המשקל, המשלבות את קבוע הקפיץ k, אורך הסורגים והגיאומטריה של המערכת בתחילת ההתכווצות.