26.4 : オイラーの公式を使った柱 : 問題解決

オイラーの公式は、構造工学においてさまざまな条件下での柱の座屈荷重を決定するために使用されます。ただし、剛性要素とバネなどの弾性部品の両方を組み込んだ装置を扱う場合、解析では臨界荷重を決定するためのより詳細なアプローチが必要になります。説明されている問題には、バネが取り付けられたピボット点で接続され、一端に垂直荷重が加えられた 2 つの剛性棒が含まれます。

この装置は、膝関節と同様に、ピボット点 B で接続された等しい長さの 2 本の垂直剛性棒 AB と BC で構成されます。定数 k の引張バネが B に取り付けられており、水平方向に作用します。 垂直荷重 F が点 A に下向きに加わると、棒はピボット点 B を中心に回転します。バネはこの力に抗して作用し、点 B を元の位置に引き戻し、バネに伸び X が生じます。

まず、この装置を分析するために、各棒の自由体図が使用され、静的平衡の原理が棒に作用する力を分析するために適用されます。軸方向荷重 F により装置は点 B で回転し、その結果、棒に水平力と垂直力の両方が発生します。

装置に作用する水平力の平衡方程式が設定されます。これには、伸び X によるバネ力が含まれます。バネ力は、点 B の横方向の動きに反作用します。装置が点 B で回転すると、両方向の棒に曲げモーメントを誘発します。棒 AB の B でのモーメント平衡により、点 A での反力を決定できます。これには、加えられた荷重 F によって生成されるモーメントを計算し、それを反力によるモーメントと等しくすることが含まれます。同様に、棒BCの点Bの周りの力のモーメントを調べると、点Cでの反力が得られます。 このステップには、点 B に対するばねの力とそのモーメント アームも含まれます。点 A と C での反力を水平力の平衡方程式に代入することで、ばねの力の合計を計算できます。この力は、点 A と点 C での反力によって生成されるモーメントのバランスをとります。

装置の臨界荷重は、ばねの伸び X が加えられる荷重 F に直接関係することを認識することによって決定されます。ばねの伸び (したがってばね力) が、負荷によってバランスが取れない値に達すると、装置の安定性が損なわれます。組立の構造的完全性が損なわれ、座屈が発生します。臨界荷重の正確な数学的表現は、バネ定数 k、棒の長さ、座屈開始時の装置の形状を組み込んだ平衡方程式から導き出すことができます。