26.4 : Формула Эйлера для колонн: решение задач

Формула Эйлера используется в строительной инженерии для определения продольной нагрузки колонн в различных условиях. Однако при работе с системами, которые включают в себя как жесткие элементы, так и упругие компоненты, такие как пружины, анализ требует более тонкого подхода для определения критической нагрузки. Описанная задача включает в себя два жестких стержня, соединенных в точке поворота с прикрепленной пружиной и вертикальной нагрузкой, приложенной к одному концу.

Система состоит из двух вертикальных жестких стержней AB и BC одинаковой длины, соединенных в точке поворота B, аналогично коленному суставу. К B прикреплена пружина растяжения постоянной k, действующая горизонтально. Когда вертикальная нагрузка F прикладывается вниз в точке A, стержни вращаются вокруг точки поворота B. Пружина действует против этой силы, притягивая точку B обратно в исходное положение, что приводит к удлинению X пружины.

Во-первых, для анализа этой системы используется диаграмма свободного тела для каждого стержня, а для анализа сил, действующих на стержни, применяются принципы статического равновесия. Осевая нагрузка F заставляет систему поворачиваться в точке B, что приводит к возникновению как горизонтальной, так и вертикальной силы в стержнях.

Составляется уравнение равновесия для горизонтальных сил, действующих на систему, включая силу пружины, обусловленную удлинением X. Сила пружины противодействует боковому движению точки B. Поворот системы в точке B также вызывает изгибающий момент в обеих точках. бары. Момент равновесия в точке B для стержня AB позволяет определить силу реакции в точке A. Это включает в себя расчет момента, создаваемого приложенной нагрузкой F, и приравнивание его к моменту, обусловленному силой реакции. Аналогично, изучив момент сил вокруг точки B для стержня BC можно получить силу реакции в точке C. Этот шаг также включает в себя силу пружины и ее плечо момента относительно точки B. Мы можем рассчитать общую силу пружины, подставив реакции в точках A и C в уравнение равновесия горизонтальных сил. Эта сила уравновешивает моменты, создаваемые силами реакции в точках А и С.

Критическая нагрузка для системы определяется с учетом того, что удлинение пружины X напрямую связано с приложенной нагрузкой F. Устойчивость системы оказывается под угрозой, когда удлинение пружины (и, следовательно, сила пружины) достигает значения, которое не может быть уравновешено структурной целостностью узла, что приводит к короблению. Точное математическое выражение критической нагрузки можно получить из уравнений равновесия, включающих константу пружины k, длину стержней и геометрию системы в момент начала потери устойчивости.