26.4 :  La formula di Eulero in colonne: risoluzione dei problemi

La formula di Eulero viene utilizzata nell'ingegneria strutturale per determinare il carico di punta delle colonne in varie condizioni. Tuttavia, quando si ha a che fare con sistemi che incorporano sia elementi rigidi che componenti elastici, come le molle, l’analisi richiede un approccio più accurato per determinare il carico critico. Il problema descritto coinvolge due barre rigide collegate in un punto di articolazione con una molla attaccata e un carico verticale applicato a un'estremità.

Il sistema è composto da due barre rigide verticali, AB e BC, di uguale lunghezza, collegate nel punto di articolazione B, simile ad un'articolazione del ginocchio. Una molla di tensione di costante k è fissata a B e agisce orizzontalmente. Quando un carico verticale F viene applicato verso il basso nel punto A, le barre ruotano attorno al punto di articolazione B. La molla agisce contro questa forza, riportando il punto B nella sua posizione originale e determinando un allungamento X della molla.

Innanzitutto, per analizzare questo sistema, viene utilizzato un diagramma di corpo libero per ciascuna barra e vengono applicati i principi dell'equilibrio statico per analizzare le forze che agiscono sulle barre. Il carico assiale F fa ruotare il sistema nel punto B, il che si traduce in una forza sia orizzontale che verticale nelle aste.

Viene stabilita un'equazione di equilibrio per le forze orizzontali che agiscono sul sistema, che include la forza della molla dovuta all'allungamento X. La forza della molla contrasta il movimento laterale del punto B. La rotazione del sistema nel punto B induce anche un momento flettente in entrambi barre. L'equilibrio del momento in B per Bar AB consente di determinare la forza di reazione nel punto A. Ciò comporta il calcolo del momento generato dal carico applicato F e l'equiparazione al momento dovuto alla forza di reazione. Allo stesso modo, esaminando il momento delle forze attorno al punto B per la barra BC si ottiene la forza di reazione nel punto C. Questo passaggio include anche la forza della molla e il suo braccio di momento rispetto al punto B. Possiamo calcolare la forza totale della molla sostituendo le reazioni in punti A e C nell'equazione di equilibrio della forza orizzontale. Questa forza controbilancia i momenti generati dalle forze di reazione nei punti A e C.

Il carico critico per il sistema è determinato riconoscendo che l'allungamento X della molla è direttamente correlato al carico applicato F. La stabilità del sistema è compromessa quando l'allungamento della molla (e quindi la forza della molla) raggiunge un valore che non può essere bilanciato dal integrità strutturale dell'assieme, con conseguente instabilità. L'esatta espressione matematica del carico critico può essere derivata dalle equazioni di equilibrio, incorporando la costante elastica k, la lunghezza delle barre e la geometria del sistema all'inizio dell'instabilità.