26.4 : La formule d'Euler pour les colonnes : Résolution de problèmes

La formule d'Euler est utilisée en ingénierie des structures pour déterminer la charge de flambage des colonnes dans diverses conditions. Cependant, lorsqu'il s'agit de systèmes intégrant à la fois des éléments rigides et des composants élastiques, tels que des ressorts, l'analyse nécessite une approche plus fine pour déterminer la charge critique. Le problème décrit implique deux barres rigides reliées à un point de pivotement avec un ressort attaché et une charge verticale appliquée à une extrémité.

Le système comprend deux barres rigides verticales, AB et BC, de longueur égale, reliées au point de pivotement B, semblable à une articulation du genou. Un ressort de tension de constante k est attaché à B, agissant horizontalement. Lorsqu'une charge verticale F est appliquée vers le bas au point A, les barres tournent autour du point de pivotement B. Le ressort agit contre cette force, ramenant le point B à son emplacement d'origine et entraînant un allongement X du ressort.

Tout d’abord, pour analyser ce système, un diagramme de corps-libre pour chaque barre est utilisé et les principes de l’équilibre statique sont appliqués pour analyser les forces agissant sur les barres. La charge axiale F fait pivoter le système au point B, ce qui entraîne à la fois une force horizontale et verticale dans les tiges.

Une équation d'équilibre pour les forces horizontales agissant sur le système est établie, qui inclut la force du ressort due à l'allongement X. La force du ressort s'oppose au mouvement latéral du point B. Le pivotement du système au point B induit également un moment de flexion dans les deux barres. Le moment d'équilibre en B pour la barre AB permet de déterminer la force de réaction au point A. Cela implique de calculer le moment généré par la charge appliquée F et de l'assimiler au moment dû à la force de réaction. De même, l'examen du moment des forces autour du point B pour la barre BC donne la force de réaction au point C. Cette étape inclut également la force du ressort et son bras de levier par rapport au point B. 

Nous pouvons calculer la force totale du ressort en substituant les réactions à points A et C dans l’équation d’équilibre des forces horizontales. Cette force contrebalance les moments générés par les forces de réaction aux points A et C.

La charge critique du système est déterminée en reconnaissant que l'allongement X du ressort est directement lié à la charge appliquée F. La stabilité du système est compromise lorsque l'allongement du ressort (et donc la force du ressort) atteint une valeur qui ne peut pas être équilibrée par l'intégrité structurelle de l’ensemble, entraînant un flambage. L'expression mathématique exacte de la charge critique peut être dérivée des équations d'équilibre, intégrant la constante de raideur k, la longueur des barres et la géométrie du système au début du flambage.