26.4 : Fórmula de Euler para columnas: resolución de problemas

La fórmula de Euler se utiliza en ingeniería estructural para determinar la carga de pandeo de columnas en diversas condiciones. Sin embargo, cuando se trata de sistemas que incorporan tanto elementos rígidos como componentes elásticos, como resortes, el análisis requiere un enfoque más preciso para determinar la carga crítica. El problema descrito involucra dos barras rígidas conectadas en un punto de pivote con un resorte unido y una carga vertical aplicada en un extremo.

El sistema consta de dos barras rígidas verticales, AB y BC, de igual longitud, conectadas en el punto de pivote B, similar a una articulación de rodilla. Un resorte de tensión de constante k está unido a B y actúa horizontalmente. Cuando se aplica una carga vertical F hacia abajo en el punto A, las barras giran alrededor del punto de pivote B. El resorte actúa contra esta fuerza, tirando del punto B de regreso a su ubicación original y dando como resultado un alargamiento X en el resorte.

Primero, para analizar este sistema se utiliza un diagrama de cuerpo libre para cada barra y se aplican los principios del equilibrio estático para analizar las fuerzas que actúan sobre las barras. La carga axial F hace que el sistema pivote en el punto B, lo que resulta en una fuerza tanto horizontal como vertical en las varillas.

Se establece una ecuación de equilibrio para las fuerzas horizontales que actúan sobre el sistema, que incluye la fuerza del resorte debida al alargamiento X. La fuerza del resorte contrarresta el movimiento lateral del punto B. El pivote del sistema en el punto B también induce un momento de flexión en ambos barras. El equilibrio de momentos en B para la barra AB permite determinar la fuerza de reacción en el punto A. Esto implica calcular el momento generado por la carga aplicada F y equipararlo con el momento debido a la fuerza de reacción. De manera similar, al examinar el momento de las fuerzas alrededor del punto B para la barra BC se obtiene la fuerza de reacción en el punto C. Este paso también incluye la fuerza del resorte y su brazo de momento en relación con el punto B. Podemos calcular la fuerza total del resorte sustituyendo las reacciones en puntos A y C en la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales. Esta fuerza contrarresta los momentos generados por las fuerzas de reacción en los puntos A y C.

La carga crítica para el sistema se determina reconociendo que el alargamiento X del resorte se relaciona directamente con la carga aplicada F. La estabilidad del sistema se ve comprometida cuando el alargamiento del resorte (y por lo tanto la fuerza del resorte) alcanza un valor que no puede equilibrarse con la integridad estructural del conjunto, provocando pandeo. La expresión matemática exacta para la carga crítica se puede derivar de las ecuaciones de equilibrio, incorporando la constante del resorte k, la longitud de las barras y la geometría del sistema al inicio del pandeo.