17.1 : تحويل فورييه المستمر

تلعب سلسلة فورييه دورًا أساسيًا في تمثيل الدوال الدورية، حيث تُقدِّم طريقة قوية لتحليل مثل هذه الدوال إلى مجموع من الجيبيات. ومع ذلك، تتطلب هذه التقنية تعديلًا عند تطبيقها على الدوال غير الدورية. لنفترض أن موجة قطار النبضات تتكون من سلسلة من النبضات المستطيلة. عندما تكون لهذه النبضات فترة محدودة، يمكن تمثيلها بدقة بواسطة سلسلة فورييه. ومع ذلك، عندما تقترب الفترة من اللانهاية، مما ينتج عنه نبضة واحدة منفردة، يتحول المجموع المنفصل لتحويلات سلسلة فورييه إلى تكامل مستمر يُعرف باسم تحويل فورييه.

ويُعد الانتقال من سلسلة فورييه إلى تحويل فورييه أمرًا محوريًا لتحليل الدوال غير الدورية. تحلل سلسلة فورييه دالة دورية x(𝑡) إلى مجموع الجيب وجيب التمام، كما هو موضح على النحو التالي:

حيث x_𝑛 هي معاملات فورييه و𝜔_0​ هو التردد الزاوي الأساسي. ومع امتداد فترة الدالة إلى ما لا نهاية، يميل التردد الأساسي 𝜔_0 إلى الصفر، ويتطور المجموع على الترددات المنفصلة n𝜔_0 إلى تكامل على متغير تردد مستمر 𝜔:

يُعرِّف هذا التكامل تحويل فورييه X(𝜔)، الذي يمثل الدالة الأصلية x(𝑡) في مجال التردد.

أدى التشكك الأولي حول تمثيل أي دالة دورية باستخدام الجيوب الجيبية إلى إنشاء شروط دي ريتشليت. توفر هذه الشروط معايير يمكن بموجبها توسيع دالة دورية من حيث الجيبيات. على وجه التحديد، يمكن تمثيل الدالة x(𝑡) بواسطة سلسلة فورييه إذا كانت الدالة تحتوي على انقطاعات محدودة، وعدد محدود من القيم القصوى والدنيا، ويمكن تكاملها بشكل مطلق على مدار الفترة.

في التطبيقات العملية، وخاصة في معالجة الصور، يلعب تحويل فورييه دورًا حاسمًا. فهو يساعد في تحسين الصور وتصفية الضوضاء، وبالتالي جعل التفاصيل أكثر وضوحًا ووضوحًا. من خلال تحويل الصورة إلى مجال التردد، يمكن تطبيق تقنيات تصفية مختلفة للتأكيد على ميزات معينة أو تقليل الضوضاء، ثم يتم استخدام تحويل فورييه العكسي لتحويل الصورة المعالجة مرة أخرى إلى المجال المكاني. يعد هذا النهج أساسيًا في تحليل الصور الحديثة، مما يتيح تقنيات متقدمة في التصوير الطبي والاستشعار عن بُعد والتصوير الرقمي.