Die Fourier-Reihe ist für die Darstellung periodischer Funktionen von entscheidender Bedeutung und bietet eine leistungsstarke Methode, um solche Funktionen in eine Summe von Sinuskurven zu zerlegen. Diese Technik muss jedoch modifiziert werden, wenn sie auf nichtperiodische Funktionen angewendet wird. Betrachten Sie eine Rechteckwelle, die aus einer Reihe rechteckiger Impulse besteht. Wenn diese Impulse eine endliche Periode haben, können sie genau durch eine Fourier-Reihe dargestellt werden. Wenn sich die Periode jedoch der Unendlichkeit nähert und zu einem einzelnen, isolierten Impuls führt, verwandelt sich die diskrete Summe der Fourier-Reihe in ein kontinuierliches Integral, das als Fourier-Transformation bezeichnet wird.

Der Übergang von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation ist für die Analyse nichtperiodischer Funktionen von entscheidender Bedeutung. Die Fourier-Reihe zerlegt eine periodische Funktion x(t) in eine Summe von Sinus- und Cosinuswerten, ausgedrückt als:

Wobei x_n die Fourier-Koeffizienten und ω_0​ die Grundwinkelfrequenz sind. Wenn die Periode der Funktion sich bis ins Unendliche erstreckt, tendiert die Grundfrequenz ω_0 gegen Null und die Summierung über diskrete Frequenzen nω_0​ entwickelt sich zu einem Integral über eine kontinuierliche Frequenzvariable ω:

Dieses Integral definiert die Fourier-Transformation X(ω), die die ursprüngliche Funktion x(t) im Frequenzbereich darstellt.

Die anfängliche Skepsis gegenüber der Darstellung einer periodischen Funktion mit Sinuskurven führte zur Festlegung der Dirichlet-Bedingungen. Diese Bedingungen liefern Kriterien, unter denen eine periodische Funktion in Form von Sinuskurven erweitert werden kann. Insbesondere kann eine Funktion x(t) durch eine Fourier-Reihe dargestellt werden, wenn die Funktion endliche Unstetigkeiten, eine endliche Anzahl von Maxima und Minima aufweist und über die Periode absolut integrierbar ist.

In praktischen Anwendungen, insbesondere in der Bildverarbeitung, spielt die Fourier-Transformation eine entscheidende Rolle. Sie hilft dabei, Bilder zu verbessern und Rauschen herauszufiltern, wodurch Details deutlicher und schärfer werden. Durch die Transformation eines Bildes in den Frequenzbereich können verschiedene Filtertechniken angewendet werden, um bestimmte Merkmale hervorzuheben oder Rauschen zu reduzieren, und dann wird die inverse Fourier-Transformation verwendet, um das verarbeitete Bild wieder in den räumlichen Bereich umzuwandeln. Dieser Ansatz ist grundlegend für die moderne Bildanalyse und ermöglicht fortschrittliche Techniken in der medizinischen Bildgebung, Fernerkundung und Digitalfotografie.