Ряд Фурье играет важную роль в представлении периодических функций, предлагая мощный метод разложения таких функций в сумму синусоид. Однако, этот метод требует модификации при применении к непериодическим функциям. Рассмотрим импульсную последовательность, состоящую из серии прямоугольных импульсов. Когда эти импульсы имеют конечный период, их можно точно представить рядом Фурье. Однако, когда период приближается к бесконечности, что приводит к одному изолированному импульсу, дискретное суммирование ряда Фурье преобразуется в непрерывный интеграл, известный как преобразование Фурье.

Переход от ряда Фурье к преобразованию Фурье имеет решающее значение для анализа непериодических функций. Ряд Фурье разлагает периодическую функцию x(t) на сумму синусов и косинусов, выражаемую как:

Где x_n — коэффициенты Фурье, а ω_0 — основная угловая частота. Поскольку период функции стремится к бесконечности, основная частота ω_0 стремится к нулю, а суммирование по дискретным частотам nω_0 превращается в интеграл по непрерывной частотной переменной ω:

Этот интеграл определяет преобразование Фурье X(ω), представляя исходную функцию x(t) в частотной области.

Первоначальный скептицизм относительно представления любой периодической функции с помощью синусоид привел к установлению условий Дирихле. Эти условия предоставляют критерии, при которых периодическая функция может быть разложена в терминах синусоид. В частности, функция x(t) может быть представлена ​​рядом Фурье, если функция имеет конечные разрывы, конечное число максимумов и минимумов, и она абсолютно интегрируема за период.

В практических приложениях, особенно в обработке изображений, преобразование Фурье играет решающую роль. Оно помогает улучшать изображения и отфильтровывать шум, тем самым делая детали более четкими и резкими. Преобразуя изображение в частотную область, можно применять различные методы фильтрации, чтобы подчеркнуть определенные особенности или уменьшить шум, а после этого обратное преобразование Фурье используется для преобразования обработанного изображения обратно в пространственную область. Этот подход является основополагающим в современном анализе изображений, позволяя использовать передовые методы в медицинской визуализации, дистанционном зондировании и цифровой фотографии.