푸리에 급수는 주기 함수를 표현하는 데 중요한 역할을 하며, 이러한 함수를 사인파의 합으로 분해하는 강력한 방법을 제공합니다. 그러나 이 기술은 비주기 함수에 적용하면 수정이 필요합니다. 일련의 직사각형 펄스로 구성된 펄스열 파형을 고려하십시오. 이러한 펄스가 유한 주기를 갖는 경우 푸리에 급수로 정확하게 표현할 수 있습니다. 그러나 주기가 무한대에 가까워지면서 단일의 고립된 펄스가 생성되면 푸리에 급수의 이산 합은 푸리에 변환이라고 알려진 연속 적분으로 변환됩니다.

푸리에 급수에서 푸리에 변환으로의 전환은 비주기 함수를 분석하는 데 중요합니다. 푸리에 급수는 주기 함수 x(t)를 사인과 코사인의 합으로 분해하여 다음과 같이 표현합니다.

여기서 x_n는 푸리에 계수이고 ω_0​는 기본 각 주파수입니다. 함수의 주기가 무한대로 확장됨에 따라 기본 주파수 ω_0은 0에 가까워지고 이산 주파수 nω_0에 대한 합은 연속 주파수 변수 ω에 대한 적분으로 진화합니다.

이 적분은 주파수 영역에서 원래 함수 x(ω)를 나타내는 푸리에 변환 X(t)을 정의합니다.

사인파로 주기 함수를 표현하는 것에 대한 초기 회의론은 디리클레 조건의 확립으로 이어졌습니다. 이러한 조건은 주기 함수가 사인파로 확장될 수 있는 기준을 제공합니다. 구체적으로, 함수 x(t)는 함수에 유한 불연속성, 유한한 수의 최댓값과 최솟값이 있고 주기에 걸쳐 절대적으로 적분 가능한 경우 푸리에 급수로 표현할 수 있습니다.

특히 이미지 처리에서 실제 응용법인 푸리에 변환은 중요한 역할을 합니다. 이는 이미지를 향상시키고 노이즈를 필터링하여 세부 사항을 더 뚜렷하고 선명하게 만드는 데 도움이 됩니다. 이미지를 주파수 영역으로 변환하면 다양한 필터링 기술을 적용하여 특정 기능을 강조하거나 노이즈를 줄일 수 있으며, 그런 다음 역 푸리에 변환을 사용하여 처리된 이미지를 다시 공간 영역으로 변환합니다. 이 접근 방식은 현대 이미지 분석의 기초가 되어 의료 영상, 원격 감지 및 디지털 사진 분야에서 고급 기술을 가능하게 합니다.