A série de Fourier é instrumental na representação de funções periódicas, oferecendo um método poderoso para decompor tais funções em uma soma de sinusoides. Essa técnica, no entanto, necessita de modificação quando aplicada a funções não periódicas. Considere uma forma de onda de trem de pulsos consistindo em uma série de pulsos retangulares. Quando esses pulsos têm um período finito, eles podem ser representados com precisão por uma série de Fourier. No entanto, conforme o período se aproxima do infinito, resultando em um único pulso isolado, a soma discreta da série de Fourier se transforma em uma integral contínua conhecida como transformada de Fourier.

A transição da série de Fourier para a transformada de Fourier é fundamental para analisar funções não periódicas. A série de Fourier decompõe uma função periódica x(t) em uma soma de senos e cossenos, expressa como:

Onde x_n são os coeficientes de Fourier e ω_0​ é a frequência angular fundamental. À medida que o período da função se estende ao infinito, a frequência fundamental ω_0 tende a zero, e a soma sobre frequências discretas nω_0 evolui para uma integral sobre uma variável de frequência contínua ω:

Esta integral define a transformada de Fourier X(ω), representando a função original x(t) no domínio da frequência.

O ceticismo inicial sobre a representação de qualquer função periódica com sinusoides levou ao estabelecimento das condições de Dirichlet. Essas condições fornecem critérios sob os quais uma função periódica pode ser expandida em termos de sinusoides. Especificamente, uma função x(t) pode ser representada por uma série de Fourier se a função tiver descontinuidades finitas, número finito de máximos e mínimos, e for absolutamente integrável ao longo do período.

Em aplicações práticas, particularmente no processamento de imagens, a transformada de Fourier desempenha um papel crucial. Ela auxilia no aprimoramento de imagens e na filtragem de ruídos, tornando os detalhes mais distintos e nítidos. Ao transformar uma imagem no domínio da frequência, várias técnicas de filtragem podem ser aplicadas para enfatizar certas características ou reduzir o ruído, e então a transformada inversa de Fourier é usada para converter a imagem processada de volta ao domínio espacial. Essa abordagem é fundamental na análise de imagens moderna, permitindo técnicas avançadas em imagens médicas, sensoriamento remoto e fotografia digital.