La serie de Fourier es fundamental para representar funciones periódicas y ofrece un método eficaz para descomponer dichas funciones en una suma de senos. Sin embargo, esta técnica requiere modificaciones cuando se aplica a funciones no periódicas. Considere una forma de onda de tren de pulsos que consiste en una serie de pulsos rectangulares. Cuando estos pulsos tienen un período finito, se pueden representar con precisión mediante una serie de Fourier. Sin embargo, a medida que el período se acerca al infinito, lo que da como resultado un pulso único y aislado, la suma discreta de la serie de Fourier se transforma en una integral continua conocida como transformada de Fourier.

La transición de la serie de Fourier a la transformada de Fourier es fundamental para analizar funciones no periódicas. La serie de Fourier descompone una función periódica x(t) en una suma de senos y cosenos, expresada como:

Donde x_n son los coeficientes de Fourier y ω_0 es la frecuencia angular fundamental. A medida que el período de la función se extiende hasta el infinito, la frecuencia fundamental ω_0 tiende a cero, y la suma sobre frecuencias discretas nω_0 evoluciona hacia una integral sobre una variable de frecuencia continua ω:

Esta integral define la transformada de Fourier X(ω), que representa la función original x(t) en el dominio de la frecuencia.

El escepticismo inicial sobre la representación de cualquier función periódica con senos condujo al establecimiento de las condiciones de Dirichlet. Estas condiciones proporcionan criterios bajo los cuales una función periódica puede ser expandida en términos de senos. Específicamente, una función x(t) puede ser representada por una serie de Fourier si la función tiene discontinuidades finitas, un número finito de máximos y mínimos, y es absolutamente integrable a lo largo del período.

En aplicaciones prácticas, particularmente en el procesamiento de imágenes, la transformada de Fourier juega un papel crucial. Ayuda a mejorar las imágenes y filtrar el ruido, haciendo que los detalles sean más nítidos y definidos. Al transformar una imagen al dominio de frecuencia, se pueden aplicar varias técnicas de filtrado para enfatizar ciertas características o reducir el ruido, y luego se utiliza la transformada de Fourier inversa para convertir la imagen procesada nuevamente al dominio espacial. Este enfoque es fundamental en el análisis de imágenes moderno, lo que permite técnicas avanzadas en imágenes médicas, teledetección y fotografía digital.