17.1 : Sürekli Zamanlı Fourier Dönüşümü

Fourier serisi, periyodik fonksiyonları temsil etmede etkilidir ve bu fonksiyonları sinüzoidlerin toplamına ayırmak için güçlü bir yöntem sunar. Ancak bu teknik, periyodik olmayan fonksiyonlara uygulandığında yetersiz kalır. Bir dizi dikdörtgen darbeden oluşan bir dürtü dizisi dalga formunu düşünün. Bu dürtülerin sonlu bir periyodu olduğunda bir Fourier serisi ile doğru bir şekilde ifade edilebilirler. Bu şekilde periyot sonsuza yaklaşıp tek bir izole dürtüyle sonuçlandığında Fourier serisinin ayrık toplamı, Fourier dönüşümü olarak bilinen sürekli bir integrale dönüşür.

Fourier serisinden Fourier dönüşümüne geçiş, periyodik olmayan fonksiyonları analiz etmek için çok önemlidir. Fourier serisi, x(t) periyodik fonksiyonunu sinüs ve kosinüslerin toplamına ayırır ve şu şekilde ifade edilir:

Burada x_n Fourier katsayılarıdır ve ω_0 temel açısal frekanstır. Fonksiyonun periyodu sonsuza uzadıkça, temel ω_0 frekansı sıfıra doğru eğilim gösterir ve ayrık nω_0 frekansları üzerindeki toplam, sürekli bir frekans değişkeni olan ω üzerinde bir integrale dönüşür:

Bu integral, orijinal x(t) fonksiyonunu frekans domainde temsil eden Fourier dönüşümü X(ω)'yi tanımlar.

Sinüzoidlerle herhangi bir periyodik fonksiyonu temsil etme konusundaki ilk şüphe, Dirichlet koşullarının oluşturulmasına yol açtı. Bu koşullar, periyodik bir fonksiyonun sinüzoidler cinsinden genişletilebileceği kriterleri sağlar. Spesifik olarak bir x(t) fonksiyonu; fonksiyonun sonlu süreksizlikleri, sonlu sayıda maksimum ve minimumu varsa ve periyot boyunca kesinlikle entegre edilebilirse bir Fourier serisiyle temsil edilebilir.

Pratik uygulamalarda, özellikle görüntü işlemede, Fourier dönüşümü önemli bir rol oynar. Görüntüleri iyileştirmeye ve gürültüyü filtrelemeye yardımcı olur, böylece ayrıntıları daha belirgin ve keskin hale getirir. Bir görüntüyü frekans domainine dönüştürerek, belirli özellikleri vurgulamak veya gürültüyü azaltmak için çeşitli filtreleme teknikleri uygulanabilir ve ardından işlenmiş görüntüyü uzaysal alana geri dönüştürmek için ters Fourier dönüşümü kullanılır. Bu yaklaşım, modern görüntü analizinde temeldir ve tıbbi görüntüleme, uzaktan algılama ve dijital fotoğrafçılıkta gelişmiş tekniklere olanak tanır.