Szereg Fouriera jest instrumentalny w przedstawianiu funkcji okresowych, oferując metodę rozkładu takich funkcji na sumę sinusoid. Ta technika wymaga jednak modyfikacji, gdy jest stosowana do funkcji nieokresowych. Rozważmy przebieg impulsowy składający się z serii prostokątnych impulsów. Gdy te impulsy mają skończony okres, można je dokładnie przedstawić za pomocą szeregu Fouriera. Jednak gdy okres zbliża się do nieskończoności, co skutkuje pojedynczym, izolowanym impulsem, dyskretne sumowanie szeregu Fouriera przekształca się w ciągłą całkę znaną jako transformata Fouriera.

Przejście z szeregu Fouriera do transformaty Fouriera jest kluczowe dla analizy funkcji nieokresowych. Szereg Fouriera rozkłada funkcję okresową x(t) na sumę sinusów i cosinusów, wyrażoną jako:

Gdzie x_n to współczynniki Fouriera, a ω_0​ to podstawowa częstość kątowa. Gdy okres funkcji rozciąga się do nieskończoności, podstawowa częstość ω_0 dąży do zera, a sumowanie po dyskretnych częstościach nω_0 ewoluuje w całkę po ciągłej zmiennej częstotliwości ω:

Ta całka definiuje transformatę Fouriera X(ω), reprezentującą oryginalną funkcję x(t) w dziedzinie częstotliwości.

Początkowy sceptycyzm co do reprezentowania jakiejkolwiek funkcji okresowej za pomocą sinusoid doprowadził do ustanowienia warunków Dirichleta. Warunki te stanowią kryteria, zgodnie z którymi funkcja okresowa może zostać rozwinięta w kategoriach sinusoid. Konkretnie, funkcja x(t) może być reprezentowana przez szereg Fouriera, jeśli funkcja ma skończone nieciągłości, skończoną liczbę maksimów i minimów i jest absolutnie całkowalna w okresie.

W praktycznych zastosowaniach, szczególnie w przetwarzaniu obrazu, transformata Fouriera odgrywa kluczową rolę. Pomaga w ulepszaniu obrazów i filtrowaniu szumu, dzięki czemu szczegóły stają się bardziej wyraźne i ostrzejsze. Poprzez transformację obrazu do dziedziny częstotliwości można zastosować różne techniki filtrowania w celu podkreślenia pewnych cech lub zmniejszenia szumu, a następnie odwrotna transformata Fouriera jest używana do konwersji przetworzonego obrazu z powrotem do dziedziny przestrzennej. To podejście jest podstawą nowoczesnej analizy obrazu, umożliwiając zaawansowane techniki w obrazowaniu medycznym, teledetekcji i fotografii cyfrowej.