23.7 : Transformation der ebenen Dehnung

Bei der Analyse langgestreckter Strukturen wie Stäbe, die gleichmäßig verteilten Lasten ausgesetzt sind, ist es wichtig, die Transformation der ebenen Dehnung beim Drehen der Koordinatenachsen zu verstehen. Diese Transformation hilft bei der Beurteilung, wie sich die Materialverformungseigenschaften mit der Ausrichtung ändern, was in der Materialwissenschaft und im Bauingenieurwesen von entscheidender Bedeutung ist.

Unter ebenen Dehnungsbedingungen, die typisch für Bauteile sind, bei denen eine Abmessung die anderen deutlich übersteigt, sind Verformungen und resultierende Dehnungen nur in einer einzigen Ebene spürbar. An jedem Punkt, sagen wir O, sind die wichtigen Dehnungskomponenten diejenigen entlang der x- und y-Achse, und die Dehnungskomponenten entlang der z-Achse sind vernachlässigbar. Diese Komponenten beschreiben umfassend den Verformungszustand innerhalb der xy-Ebene.

Ein wichtiger Fall ist die Berechnung der Normaldehnung entlang der Winkelhalbierenden zwischen der x- und der y-Achse, die 45 Grad beträgt. In diesem Fall vereinfacht die Berücksichtigung dieses Winkels den Ausdruck und spiegelt wider, wie die Kombination aus Normaldehnungen und Scherdehnung die Verformung entlang dieser Linie beeinflusst.

Wenn das Koordinatensystem gedreht wird, um es an der Winkelhalbierenden der x- und y-Achse auszurichten, können die Dehnungskomponenten in den neuen Koordinaten mithilfe trigonometrischer Beziehungen aus der Elastizitätstheorie neu berechnet werden. Insbesondere können die Normaldehnungen in den Richtungen, die einen beliebigen Winkel mit den ursprünglichen Achsen bilden, und die entsprechenden Scherdehnungen anhand der ursprünglichen Dehnungskomponenten bestimmt werden.