La proprietà di accumulazione nell'elaborazione del segnale è derivata analizzando la somma accumulata di un segnale a tempo discreto e usando la proprietà di spostamento temporale per determinare la sua trasformata z. Questo principio rivela che la trasformata z del segnale sommato è correlata alla trasformata z del segnale originale da un fattore moltiplicativo.

Inoltre, la proprietà di convoluzione indica che la convoluzione di due segnali nel dominio del tempo corrisponde al prodotto delle loro trasformate z nel dominio della frequenza. Questa proprietà è valida sia per i segnali causali che per quelli non causali. La proprietà di convoluzione può essere confermata applicando la proprietà di spostamento temporale all'equazione del dominio del tempo corrispondente.

Il teorema del valore iniziale stabilisce una connessione tra il valore iniziale di un segnale e la sua trasformata z. Per un dato segnale, il valore iniziale può essere ottenuto valutando la trasformata z quando la variabile si avvicina a zero. Questo teorema è particolarmente utile per determinare le condizioni iniziali di un sistema dalla sua trasformata z.

Al contrario, il teorema del valore finale determina il valore finale di un segnale esaminando la sua trasformata z quando la variabile si avvicina a 1. Questo teorema è applicabile solo se il segnale continua a esistere all'infinito e tutti i poli della trasformata z sono all'interno del cerchio unitario, tranne nel punto in cui la variabile è uguale a 1.

Queste proprietà sono cruciali per l'analisi e la progettazione di sistemi a tempo discreto. Attraverso l’utilizzo di teoremi di accumulazione, convoluzione, valore iniziale e valore finale, il comportamento dei segnali a tempo discreto e dei sistemi nel dominio z può essere studiato in modo efficace. La padronanza di queste proprietà consente la manipolazione e la trasformazione dei segnali, aiutando nella creazione di filtri e sistemi di controllo che funzionano all'interno del dominio a tempo discreto.