9.7 : Odpowiedź częstotliwościowa

Wykres Bodego jest niezbędnym narzędziem w analizie systemu sterowania, odwzorowującym odpowiedź częstotliwościową systemu za pomocą wykresu wielkości i wykresu fazowego, oba względem logarytmicznej osi częstotliwości. Aby skonstruować wykres Bodego, rozważ funkcję przenoszenia H(ω):

Ma stałe wzmocnienie, zera i bieguny. Po normalizacji funkcję przenoszenia zapisuje się jako:

Każdy wyraz tej znormalizowanej funkcji wpływa wyraźnie na wykres Bodego. Człon 10jω ma stałe wzmocnienie wynoszące 10 i zero na początku jω. Każdy prosty człon biegunowy (1+jω/ω_i) wprowadza punkt przerwania lub częstotliwość narożną ω_i. Dodatnie nachylenie zera jest oczywiste od początku, podczas gdy ujemne nachylenie biegunów rozpoczyna się przy ich częstotliwościach narożnych, odpowiednio ω=2 i ω=10.

Po zidentyfikowaniu każdego składnika można skonstruować ogólny wykres Bodego. Wiąże się to z nałożeniem nachyleń i zmian fazowych każdego czynnika. Przy niskich częstotliwościach wykres wielkości zaczyna się od 20 dB (ponieważ 20log_10(10) = 20) i utrzymuje płaską charakterystykę aż do pierwszej częstotliwości narożnej. Wykres fazowy rozpoczyna się pod kątem 90° względem zera na początku i zaczyna opadać przed pierwszą częstotliwością narożną.

Nachylenie wykresu będzie się zmieniać przy każdej częstotliwości narożnej, zmniejszając się o 20 dB/dekadę przy ω=2 i ponownie przy ω=10. Odpowiednio wykres fazowy zakrzywi się w dół, zbliżając się do -90° przy częstotliwości znacznie wyższej niż ω=10.

Wreszcie wykres Bodego, który składa się z tych linii prostych, można dostosować w celu lepszego przybliżenia rzeczywistej charakterystyki częstotliwościowej. Wiąże się to z dodaniem gładkiej krzywej przecinającej wykres asymptotyczny przy każdej częstotliwości narożnej, co zwykle skutkuje niewielkim przeregulowaniem w pobliżu częstotliwości narożnych, zwanym szczytem.