9.7 : Risposta in frequenza

Il diagramma di Bode è uno strumento essenziale nell'analisi dei sistemi di controllo, poiché mappa la risposta in frequenza di un sistema attraverso un diagramma di ampiezza e un diagramma di fase, entrambi rispetto ad un asse di frequenza logaritmico. Per costruire un diagramma di Bode, consideriamo la funzione di trasferimento H(ω):

La funzione ha guadagno, zeri e poli costanti. Dopo aver normalizzato la funzione di trasferimento, si può scrivere come:

Ogni termine in questa funzione normalizzata influenza distintamente il diagramma di Bode. Il termine 10jω ha guadagno costante pari a 10 e zero nell'origine jω. Ogni termine polare semplice (1+jω/ω_i) introduce un punto di interruzione o frequenza angolare ω_i. La pendenza positiva dello zero è evidente dall'origine, mentre le pendenze negative dei poli iniziano alle loro frequenze d'angolo, rispettivamente ω=2 e ω=10.

Una volta identificato il contributo individuale di ciascun termine, è possibile costruire il diagramma di Bode complessivo. Ciò comporta la sovrapposizione delle pendenze e dei cambiamenti di fase di ciascun fattore. Alle basse frequenze, il grafico della magnitudo inizia a 20 dB (poiché 20log_10(10) =20) e mantiene una risposta piatta fino alla prima frequenza d'angolo. Il diagramma di fase inizia a 90° a causa dello zero nell'origine e inizia la sua discesa prima della prima frequenza d'angolo.

La pendenza del grafico della magnitudo cambierà ad ogni frequenza d'angolo, diminuendo di 20 dB/decade a ω=2 e di nuovo a ω=10. Di conseguenza, il diagramma di fase si piegherà verso il basso, avvicinandosi a -90° ad una frequenza molto superiore a ω=10.

Infine, il diagramma asintotico di Bode, che consiste di queste linee rette, può essere regolato per approssimare più da vicino la risposta in frequenza effettiva. Ciò comporta l'aggiunta di una curva uniforme che interseca il grafico asintotico a ciascuna frequenza d'angolo, determinando in genere un leggero superamento vicino alle frequenze d'angolo, noto come picco.