14.7 : استقرار نظام BIBO المستمر والمنفصل

يعتبر استقرار النظام مفهومًا أساسيًا في معالجة الإشارات، وغالبًا ما يتم تقييمه باستخدام الالتفاف. لكي يُعتبر النظام مستقرًا بمدخلات محدودة ومخرجات محدودة (BIBO)، يجب أن تنتج أي إشارة إدخال محدودة إشارة إخراج محدودة. إشارة الإدخال المحدودة هي إشارة لا يتجاوز فيها المعامل ثابتًا معينًا في أي نقطة زمنية.

لتحديد استقرار BIBO، يتم استخدام تكامل الالتفاف عند تطبيق مدخلات محدودة بمدخلات مستمرة على نظام خطي ثابت زمنيًا (LTI). يتم تمثيل حدود إشارة الإدخال بثابت، ويساعد تكامل الالتفاف في تحديد ما إذا كان الخرج يظل محدودًا. رياضيًا، هذا يعني أنه إذا كان المتكامل لتكامل الالتفاف محدودًا، فسيكون الخرج محدودًا أيضًا. على وجه التحديد، يكون النظام المستمر في الزمن مستقرًا وفقًا لمبدأ BIBO إذا كانت استجابته للنبضة قابلة للتكامل، مما يعني أن تكامل القيمة المطلقة لاستجابة النبضة يكون محدودًا ويتم تمثيله على النحو التالي،

يضمن هذا الشرط أن يظل الناتج ضمن الحدود لأي إشارة إدخال محدودة، وبالتالي تأكيد استقرار النظام.

ينطبق نفس المبدأ على أنظمة الزمن المنفصل. يتم تحديد استقرار BIBO في أنظمة الزمن المنفصل من خلال جمع سلسلة الالتفاف. بالنسبة لنظام الزمن المنفصل، يكون الناتج محدودًا إذا كان حد الجمع له قيمة محدودة، مما يشير إلى أن النظام مستقر وفقًا لمبدأ BIBO إذا كانت استجابته للنبضة قابلة للجمع كما هو موضح في التعبير أدناه.

بعبارة أخرى، إذا كان مجموع القيم المطلقة لاستجابة النبضة محدودًا، فسيقوم النظام بإنتاج خرج محدود لأي مدخل محدود، مما يؤكد استقرار BIBO.

تكمن أهمية استقرار BIBO في تطبيقه على الأنظمة الواقعية، حيث يعد ضمان بقاء المخرجات ضمن الحدود المقبولة استجابةً للمدخلات المحدودة أمرًا بالغ الأهمية. يعد فهم وتطبيق مفاهيم التكاملات الالتفافية واستجابة النبضة أمرًا حيويًا لتصميم وتحليل الأنظمة المستقرة في كل من المجالات المستمرة والمنفصلة.