14.7 : Stabilité BIBO des systèmes à temps continu et discret

La stabilité d’un système est un concept fondamental dans le traitement du signal, souvent évalué à l'aide de la convolution. Pour qu'un système soit considéré comme stable à entrée et sortie bornées (BIBO), tout signal d'entrée borné doit produire un signal de sortie borné. Un signal d'entrée borné est un signal dont le module ne dépasse pas une certaine constante, peu importe le moment.

Pour déterminer la stabilité BIBO, l'intégrale de convolution est utilisée lorsqu'un signal d’entrée à temps continu borné est appliqué à un système invariant dans le temps linéaire (LTI). La limitation du signal d'entrée est représentée par une constante, et l'intégrale de convolution permet de déterminer si la sortie reste limitée. Mathématiquement, cela signifie que si l'intégrande de l'intégrale de convolution est finie, la sortie sera également finie. Plus précisément, un système à temps continu est BIBO stable si sa réponse impulsionnelle est intégrable, ce qui signifie que l'intégrale de la valeur absolue de la réponse impulsionnelle est finie et est représentée comme suit :

Cette condition garantit que la sortie reste dans les bornes pour tout signal d'entrée borné, confirmant ainsi la stabilité du système.

Le même principe s'applique aux systèmes à temps discret. La stabilité BIBO dans les systèmes à temps discret est déterminée par la somme de la série de convolution. Pour un système à temps discret, la sortie est finie si le terme de sommation a une valeur finie, ce qui indique que le système est stable au sens BIBO si sa réponse impulsionnelle est sommable comme indiqué dans l'expression ci-dessous.

En d'autres termes, si la somme des valeurs absolues de la réponse impulsionnelle est finie, le système produira une sortie bornée pour toute entrée bornée, confirmant ainsi la stabilité BIBO.

L'importance de la stabilité BIBO réside dans son application aux systèmes du monde réel, où il est crucial de s’assurer que les sorties restent dans des bornes acceptables en réponse à des entrées bornées. La compréhension et l'application des concepts de convolution et d'intégrales de réponse impulsionnelle sont essentielles pour la conception et l’analyse des systèmes stables dans les domaines du temps continu et du temps discret.