14.7 : BIBO-Stabilität von kontinuierlichen und zeitdiskreten Systemen

Systemstabilität ist ein grundlegendes Konzept der Signalverarbeitung, das häufig mithilfe der Faltung beurteilt wird. Damit ein System als stabil mit begrenzter Eingabe und begrenzter Ausgabe (BIBO) betrachtet werden kann, muss jedes begrenzte Eingangssignal ein begrenztes Ausgangssignal erzeugen. Ein begrenztes Eingangssignal ist ein Signal, dessen Modul zu keinem Zeitpunkt eine bestimmte Konstante überschreitet.

Um die BIBO-Stabilität zu bestimmen, wird das Faltungsintegral verwendet, wenn ein begrenzter kontinuierlicher Eingang auf ein lineares zeitinvariantes (LTI) System angewendet wird. Die Begrenztheit des Eingangssignals wird durch eine Konstante dargestellt, und das Faltungsintegral hilft zu bestimmen, ob der Ausgang begrenzt bleibt. Mathematisch bedeutet dies, dass, wenn der Integrand des Faltungsintegrals endlich ist, auch der Ausgang endlich sein wird. Insbesondere ist ein kontinuierliches System BIBO-stabil, wenn seine Impulsantwort integrierbar ist, was bedeutet, dass das Integral des Absolutwerts der Impulsantwort endlich ist und wie folgt dargestellt wird:

Diese Bedingung stellt sicher, dass die Ausgabe für jedes begrenzte Eingangssignal innerhalb der Grenzen bleibt, was die Stabilität des Systems bestätigt.

Dasselbe Prinzip gilt für diskrete Zeitsysteme. Die BIBO-Stabilität in diskreten Zeitsystemen wird durch die Summierung der Faltungsreihe bestimmt. Für ein diskretes Zeitsystem ist die Ausgabe endlich, wenn der Summenterm einen endlichen Wert hat, was darauf hinweist, dass das System BIBO-stabil ist, wenn seine Impulsantwort summierbar ist, wie im folgenden Ausdruck angegeben.

Mit anderen Worten, wenn die Summe der Absolutwerte der Impulsantwort endlich ist, erzeugt das System eine begrenzte Ausgabe für jeden begrenzten Eingang, was die BIBO-Stabilität bestätigt.

Die Bedeutung der BIBO-Stabilität liegt in ihrer Anwendung auf reale Systeme, bei denen es entscheidend ist, sicherzustellen, dass die Ausgaben als Reaktion auf begrenzte Eingaben innerhalb akzeptabler Grenzen bleiben. Das Verständnis und die Anwendung der Konzepte von Faltung und Integralen der Impulsantwort sind für die Entwicklung und Analyse stabiler Systeme sowohl in kontinuierlichen als auch in diskreten Zeitbereichen von entscheidender Bedeutung.