14.7 : Stabilność BIBO układu ciągłego oraz dyskretnego

Stabilność układu jest podstawową koncepcją w przetwarzaniu, często ocenianą za pomocą splotu. Aby układ był uważany za stabilny z ograniczonym wejściem i ograniczonym wyjściem (BIBO), każdy ograniczony sygnał wejściowy musi generować ograniczony sygnał wyjściowy. Ograniczony sygnał wejściowy to taki, którego moduł nie przekracza pewnej stałej w żadnym punkcie czasu.

Aby określić stabilność BIBO, całka splotowa jest wykorzystywana, gdy ograniczony ciągły sygnał wejściowy jest stosowany do systemu liniowego niezmienniczego w czasie (LTI). Ograniczenie sygnału wejściowego jest reprezentowane przez stałą, a całka splotowa pomaga określić, czy wyjście pozostaje ograniczone. Matematycznie oznacza to, że jeśli całka całki splotowej jest skończona, wyjście również będzie skończone. Dokładniej rzecz biorąc, układ ciągły jest stabilny BIBO, jeśli jego odpowiedź impulsowa jest całkowalna, co oznacza, że całka wartości bezwzględnej odpowiedzi impulsowej jest skończona i jest przedstawiona jako,

Ten warunek zapewnia, że wyjście pozostaje w granicach dla dowolnego ograniczonego sygnału wejściowego, potwierdzając w ten sposób stabilność układu.

Ta sama zasada dotyczy układów dyskretnych. Stabilność BIBO w układach dyskretnych jest określana poprzez sumowanie szeregu splotowego. W przypadku układu dyskretnego wyjście jest skończone, jeśli człon sumowania ma skończoną wartość, co wskazuje, że układ jest stabilny BIBO, jeśli jego odpowiedź impulsowa jest sumowalna, jak podano w poniższym wyrażeniu.

Innymi słowy, jeśli suma wartości bezwzględnych odpowiedzi impulsowej jest skończona, system wytworzy ograniczony wynik dla dowolnego ograniczonego wejścia, potwierdzając stabilność BIBO.

Znaczenie stabilności BIBO leży w jej zastosowaniu w systemach rzeczywistych, gdzie zapewnienie, że wyniki pozostają w dopuszczalnych granicach w odpowiedzi na ograniczone wejścia, jest kluczowe. Zrozumienie i zastosowanie koncepcji całek splotu i odpowiedzi impulsowej ma kluczowe znaczenie dla projektowania i analizowania stabilnych systemów zarówno ciągłych jak i dyskretnych.