Устойчивость системы является фундаментальной концепцией в обработке сигналов, часто оцениваемой с помощью свертки. Для того чтобы система считалась устойчивой с ограниченным входом и ограниченным выходом (BIBO), любой ограниченный входной сигнал должен производить ограниченный выходной сигнал. Ограниченный входной сигнал — это сигнал, модуль которого не превышает определенной константы в любой момент времени.

Для определения устойчивости BIBO используется интеграл свертки, когда ограниченный непрерывный вход применяется к линейной системе, инвариантной во времени (LTI). Ограниченность входного сигнала представлена ​​константой, а интеграл свертки помогает определить, остается ли выход ограниченным. Математически это означает, что если подынтегральное выражение интеграла свертки конечно, выход также будет конечным. В частности, система с непрерывным временем является BIBO-устойчивой, если ее импульсная характеристика интегрируема, то есть интеграл абсолютного значения импульсной характеристики конечен и представлен как,

Это условие гарантирует, что выход остается в пределах границ для любого ограниченного входного сигнала, тем самым подтверждая устойчивость системы.

Тот же принцип применим к системам с дискретным временем. BIBO-устойчивость в системах с дискретным временем определяется путем суммирования ряда свертки. Для системы с дискретным временем выход конечен, если член суммирования имеет конечное значение, что указывает на то, что система является BIBO-устойчивой, если ее импульсная характеристика суммируема, как указано в выражении ниже.

Другими словами, если сумма абсолютных значений импульсной характеристики конечна, система будет выдавать ограниченный выход для любого ограниченного входного сигнала, подтверждая BIBO-устойчивость.

Важность BIBO-устойчивости заключается в ее применении к реальным системам, где обеспечение того, чтобы выходные данные оставались в приемлемых пределах в ответ на ограниченные входные данные, имеет решающее значение. Понимание и применение концепций свертки и интегралов импульсного отклика критически важны для проектирования и анализа стабильных систем как в непрерывных, так и в дискретных временных доменах.