14.7 : Estabilidad BIBO de sistemas de tiempo continuo y discreto

La estabilidad del sistema es un concepto fundamental en el procesamiento de señales, que a menudo se evalúa mediante convolución. Para que un sistema se considere estable con entrada limitada y salida limitada (BIBO), cualquier señal de entrada limitada debe producir una señal de salida limitada. Una señal de entrada limitada es aquella en la que el módulo no excede una cierta constante en ningún momento.

Para determinar la estabilidad (BIBO), se utiliza la integral de convolución cuando se aplica una entrada de tiempo continuo limitada a un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI). La acotación de la señal de entrada se representa mediante una constante, y la integral de convolución ayuda a determinar si la salida permanece limitada. Matemáticamente, esto significa que si el integrando de la integral de convolución es finito, la salida también será finita. En concreto, un sistema de tiempo continuo es estable (BIBO) si su respuesta al impulso es integrable, lo que significa que la integral del valor absoluto de la respuesta al impulso es finita y se representa como,

Esta condición garantiza que la salida se mantenga dentro de los límites para cualquier señal de entrada acotada, lo que confirma la estabilidad del sistema.

El mismo principio se aplica a los sistemas de tiempo discreto. La estabilidad (BIBO) en sistemas de tiempo discreto se determina mediante la suma de las series de convolución. Para un sistema de tiempo discreto, la salida es finita si el término de suma tiene un valor finito, lo que indica que el sistema es estable (BIBO) si su respuesta al impulso es sumable como se indica en la expresión siguiente.

En otras palabras, si la suma de los valores absolutos de la respuesta al impulso es finita, el sistema producirá una salida acotada para cualquier entrada acotada, lo que confirma la estabilidad (BIBO).

La importancia de la estabilidad de (BIBO) radica en su aplicación a sistemas del mundo real, donde es crucial garantizar que las salidas se mantengan dentro de límites aceptables en respuesta a entradas limitadas. Comprender y aplicar los conceptos de convolución e integrales Dde respuesta al impulso son vitales para diseñar y analizar sistemas estables tanto en dominios de tiempo continuo como discreto.