نظرية بارسيفال هي مفهوم أساسي في معالجة الإشارات وتحليل التوافقيات. وهي تؤكد أنه بالنسبة لدالة دورية، فإن متوسط ​​قدرة الإشارة على مدى فترة واحدة يساوي مجموع مربعات قيم جميع معاملات فورييه المعقدة. توفر هذه النظرية، التي سميت على اسم مارك أنطوان بارسيفال، أداة قوية لتحليل توزيع الطاقة في الإشارات.

ومن المثير للاهتمام أن نظرية بارسيفال تنطبق أيضًا على الشكل المثلثي لمتسلسلة فورييه، والتي تعبر عن دالة بدلالة دوال الجيب وجيب التمام. هنا، يمكن ربط معاملات فورييه بمعاملات السلسلة المثلثية، مما يسمح بتطبيق النظرية في هذا الشكل البديل.

للتحقق من صحة نظرية بارسيفال، نبدأ بالنظر إلى دالة x(𝑡) مع تمثيل سلسلة فورييه المعقدة:

حيث 𝑐_𝑛 هي معاملات فورييه المعقدة، و𝜔_0 هو التردد الزاوي الأساسي. تنص النظرية على:

حيث 𝑇 هي فترة الدالة. بالتعويض بسلسلة فورييه في الجانب الأيسر والحل يؤكد التساوي؛ وبالتالي إثبات النظرية.

تُعد نظرية بارسيفال بالغة الأهمية في التطبيقات العملية، وخاصة في معالجة الصوت. فهي تسمح بمقارنة الطاقة الموجودة في موجة صوتية أصلية بتلك الموجودة في نسختها المضغوطة. هذه المقارنة ضرورية لضمان عدم تدهور جودة إشارة الصوت بشكل كبير بسبب فقدان الكثير من الطاقة من خلال عملية الضغط.

من منظور هندسي، تقدم نظرية بارسيفال رؤى قيمة. على سبيل المثال، إذا كانت الدالة المعنية تمثل إشارة كهربائية مثل التيار أو الجهد، فإن مربع هذه الدالة يمثل القدرة اللحظية المبددة في مقاومة 1 أوم. وبالتالي، تربط النظرية الطاقة المبددة في المقاومة على مدى فترة واحدة بتمثيل سلسلة فورييه للإشارة. يتم التعبير عن هذه العلاقة في شكلين مختلفين: أحدهما باستخدام سلسلة فورييه المثلثية والآخر باستخدام شكل السعة والطور لسلسلة فورييه. وبالتالي، فإن نظرية بارسيفال لا تعمل كأداة تحليلية قوية فحسب، بل إنها تربط أيضًا المفاهيم النظرية بتطبيقات هندسية عملية.