16.5 : Teorema de Parseval

O teorema de Parseval é um conceito fundamental no processamento de sinais e análise harmônica. Ele afirma que, para uma função periódica, a potência média do sinal em um período é igual à soma das magnitudes quadradas de todos os seus coeficientes complexos de Fourier. Este teorema, nomeado em homenagem a Marc-Antoine Parseval, fornece uma ferramenta poderosa para analisar a distribuição de energia em sinais.

Curiosamente, o teorema de Parseval também é válido para a forma trigonométrica da série de Fourier, que expressa uma função em termos de funções seno e cosseno. Aqui, os coeficientes de Fourier podem ser relacionados aos coeficientes da série trigonométrica, permitindo que o teorema seja aplicado nesta forma alternativa.

Para validar o teorema de Parseval, começamos considerando uma função x(t) com uma representação complexa de série de Fourier:

Onde c_n são os coeficientes complexos de Fourier e ω_0 é a frequência angular fundamental. O teorema afirma:

Onde T é o período da função. Substituir a série de Fourier no lado esquerdo e resolver confirma a igualdade, provando assim o teorema.

O teorema de Parseval é crucial em aplicações práticas, particularmente no processamento de áudio. Ele permite comparar a energia contida em uma onda sonora original com aquela em sua versão comprimida. Essa comparação é essencial para garantir que o processo de compressão não degrade significativamente a qualidade do sinal de áudio ao perder muita energia.

De uma perspectiva de engenharia, o teorema de Parseval oferece insights valiosos. Por exemplo, se a função em questão representa um sinal elétrico, como corrente ou voltagem, então o quadrado dessa função representa a potência instantânea dissipada em um resistor de 1 ohm. Consequentemente, o teorema vincula a energia dissipada no resistor ao longo de um período à representação da série de Fourier do sinal. Essa relação é expressa em duas formas diferentes: uma usando a série trigonométrica de Fourier e a outra usando a forma amplitude-fase da série de Fourier. Assim, o teorema de Parseval não serve apenas como uma ferramenta analítica poderosa, mas também conecta conceitos teóricos com aplicações práticas de engenharia.