16.5 : Théorème de Parseval

Le théorème de Parseval est un concept fondamental du traitement du signal et de l'analyse harmonique. Il affirme que pour une fonction périodique, la puissance moyenne du signal sur une période est égale à la somme des carrés des grandeurs de tous ses coefficients de Fourier complexes. Ce théorème, qui porte le nom de Marc-Antoine Parseval, constitue un outil puissant pour analyser la distribution d'énergie dans les signaux.

Il est intéressant de noter que le théorème de Parseval s'applique également à la forme trigonométrique de la série de Fourier, qui exprime une fonction en termes de sinus et cosinus. Dans ce cas, les coefficients de Fourier peuvent être reliés aux coefficients de la série trigonométrique, ce qui permet d'appliquer le théorème sous cette autre forme.

Pour valider le théorème de Parseval, nous commençons par considérer une fonction x(t) avec une représentation en série de Fourier complexe :

Où c_n sont les coefficients de Fourier complexes et ω_0 est la fréquence angulaire fondamentale. Le théorème stipule :

Où T est la période de la fonction. La substitution de la série de Fourier dans le membre de gauche et la résolution confirment l'égalité, prouvant ainsi le théorème.

Le théorème de Parseval est crucial dans les applications pratiques, notamment dans le traitement audio. Il permet de comparer l'énergie contenue dans une onde sonore originale à celle contenue dans sa version compressée. Cette comparaison est essentielle pour garantir que le processus de compression ne dégrade pas de manière significative la qualité du signal audio en perdant trop d'énergie.

D'un point de vue technique, le théorème de Parseval offre des informations précieuses. Par exemple, si la fonction en question représente un signal électrique tel que le courant ou la tension, le carré de cette fonction représente la puissance instantanée dissipée dans une résistance de 1 ohm. Par conséquent, le théorème relie l'énergie dissipée dans la résistance pendant une période à la représentation en série de Fourier du signal. Cette relation est exprimée sous deux formes différentes : l'une utilisant la série de Fourier trigonométrique et l'autre utilisant la forme amplitude-phase de la série de Fourier. Ainsi, le théorème de Parseval sert non seulement d'outil d'analyse puissant, mais fait également le lien entre les concepts théoriques et les applications pratiques de l'ingénierie.