16.5 : Parseval Teoremi

Parseval teoremi, sinyal işleme ve harmonik analizde temel bir kavramdır. Periyodik bir fonksiyon için, sinyalin bir periyottaki ortalama gücünün, tüm karmaşık Fourier katsayılarının büyüklüklerinin kareleri toplamına eşit olduğunu ileri sürer. Marc-Antoine Parseval'in adını taşıyan bu teorem, sinyallerdeki enerji dağılımını analiz etmek için güçlü bir araçtır.

İlginçtir ki, Parseval teoremi, bir fonksiyonu sinüs ve kosinüs fonksiyonları açısından ifade eden Fourier serisinin trigonometrik formu için de geçerlidir. Burada, Fourier katsayıları trigonometrik seri katsayılarıyla ilişkilendirilebilir ve teoremin bu alternatif formda uygulanmasına olanak tanır.

Parseval teoremini doğrulamak için karmaşık bir Fourier serisi gösterimine sahip x(t) fonksiyonunu ele alarak başlayalım:

Burada c_n karmaşık Fourier katsayılarıdır ve ω_0 temel açısal frekanstır. Teorem şunu belirtir:

Burada T fonksiyonun periyodudur. Fourier serisini sol tarafa koyup çözmek eşitliği doğrular ve böylece teoremi kanıtlar.

Parseval teoremi pratik uygulamalarda, özellikle ses işlemede çok önemlidir. Orijinal bir ses dalgasında bulunan enerjinin sıkıştırılmış versiyonundaki enerjiyle karşılaştırılmasına olanak tanır. Bu kıyas, sıkıştırma işleminin çok fazla enerji kaybederek ses sinyalinin kalitesini düşürmesini engellemek için önemlidir.

Mühendislik açısından, Parseval teoremi değerli içgörüler sunar. Örneğin, söz konusu fonksiyon akım veya gerilim gibi bir elektrik sinyalini temsil ediyorsa bu fonksiyonun karesi 1 ohm'luk bir dirençte harcanan anlık gücü temsil eder. Sonuç olarak, teorem bir periyot boyunca dirençte dağılan enerjiyi sinyalin Fourier serisi gösterimine bağlar. Bu ilişki iki farklı biçimde ifade edilir: biri trigonometrik Fourier serisini kullanarak ve Fourier serisinin genlik-faz formunu kullanarak. Bu nedenle, Parseval teoremi yalnızca güçlü bir analitik araç olarak kullanılmakla kalmaz, aynı zamanda teorik kavramları pratik mühendislik uygulamalarıyla birleştirir.