El teorema de Parseval es un concepto fundamental en el procesamiento de señales y el análisis armónico. Afirma que, para una función periódica, la potencia promedio de la señal durante un período es igual a la suma de las magnitudes al cuadrado de todos sus coeficientes complejos de Fourier. Este teorema, llamado así por Marc-Antoine Parseval, proporciona una herramienta poderosa para analizar la distribución de energía en señales.

Curiosamente, el teorema de Parseval también es válido para la forma trigonométrica de la serie de Fourier, que expresa una función en términos de funciones seno y coseno. Aquí, los coeficientes de Fourier se pueden relacionar con los coeficientes de la serie trigonométrica, lo que permite aplicar el teorema en esta forma alternativa.

Para validar el teorema de Parseval, comenzamos considerando una función x(t) con una representación compleja de la serie de Fourier:

Donde c_n son los coeficientes complejos de Fourier y ω_0 es la frecuencia angular fundamental. El teorema establece:

Donde T es el período de la función. Sustituir la serie de Fourier en el lado izquierdo y resolver confirma la igualdad, lo que demuestra el teorema.

El teorema de Parseval es crucial en aplicaciones prácticas, particularmente en el procesamiento de audio. Permite comparar la energía contenida en una onda de sonido original con la de su versión comprimida. Esta comparación es esencial para garantizar que el proceso de compresión no degrade significativamente la calidad de la señal de audio al perder demasiada energía.

Desde una perspectiva de ingeniería, el teorema de Parseval ofrece información valiosa. Por ejemplo, si la función en cuestión representa una señal eléctrica como la corriente o la tensión, entonces el cuadrado de esta función representa la potencia instantánea disipada en una resistencia de 1 ohmio. En consecuencia, el teorema vincula la energía disipada en el resistor durante un período con la representación de la señal en forma de serie de Fourier. Esta relación se expresa de dos formas diferentes: una utilizando la serie trigonométrica de Fourier y la otra utilizando la forma amplitud-fase de la serie de Fourier. De este modo, el teorema de Parseval no sólo sirve como una poderosa herramienta analítica, sino que también conecta conceptos teóricos con aplicaciones prácticas de ingeniería.